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catégorie spécifique De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, la catégorie a les ensembles pré-ordonnés comme objets et les fonctions préservant l'ordre (c'est-à-dire les fonctions croissantes) comme morphismes. Il s'agit d'une catégorie pour la composition usuelle, car la composée de deux fonctions croissantes est elle-même croissante, et l'identité est croissante elle-même.
Les monomorphismes dans sont les fonctions injectives croissantes.
L'ensemble vide (qui est bien un ensemble pré-ordonné) est l'objet initial de , et ses objets finaux sont précisément les singletons pré-ordonnés. Il n'y a donc pas d'objets nuls dans .
Le produit dans est donné par l'ordre produit défini sur le produit cartésien.
Il existe un foncteur d'oubli ( étant la catégorie des ensembles) qui attribue à chaque ensemble pré-ordonné l'ensemble sous-jacent, et à chaque fonction croissante la fonction sous-jacente. Ce foncteur est fidèle, ce qui fait d' une catégorie concrète. Ce foncteur a un adjoint gauche (envoyant chaque ensemble à lui-même muni de la relation d'égalité) et un adjoint droit (envoyant chaque ensemble lui-même équipé de la relation totale).
L'ensemble des morphismes (fonctions croissantes) entre deux ensembles pré-ordonnés peut en réalité être lui-même muni d'un pré-ordre. Ainsi, si on considère et le pré-ordre sur , on définit un pré-ordre sur (qu'on continuera à noter du fait de l'absence d'ambigüité) par :
Cet ensemble pré-ordonné peut à son tour être considéré comme une catégorie, ce qui fait d' une 2-catégorie (les axiomes supplémentaires d'une 2-catégorie sont trivialement valables car toute équation de morphismes parallèles est vraie dans une catégorie posetale).
Avec cette structure, un pseudo-foncteur d'une catégorie vers est donné par les mêmes données qu'un 2-foncteur, mais est affaibli dans le sens suivant :
Considérant :
et
où signifie et , étant le pré-ordre de ou de selon le cas.
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