Calcul des prédicats
méthode formelle, utilise des variables sur des objets non logiques et permet l'usage de phrases qui contiennent des variables; seules les variables sont quantifiées / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
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En logique mathématique, le calcul des prédicats du premier ordre, logique du premier ordre, calcul des relations, logique quantificationnelle[réf. nécessaire], ou tout simplement calcul des prédicats, est un système formel utilisé pour raisonner et décrire des énoncés en mathématiques, informatique, intelligence artificielle[1], philosophie et linguistique. Il a été proposé par Gottlob Frege[2] comme une formalisation du langage des mathématiques entre la fin du XIXe siècle et le début du XXe siècle. La logique du premier ordre comporte deux parties :
- la syntaxe définit le vocabulaire symbolique de base ainsi que les règles permettant de construire des énoncés ;
- la sémantique interprète ces énoncés comme exprimant des relations entre les éléments d'un domaine, également appelé modèle.
Sur le plan syntaxique, les langages du premier ordre opposent deux grandes classes linguistiques :
- les constituants servant à identifier ou nommer des éléments du domaine : variables, symboles de constantes, termes ;
- les constituants servant à exprimer des propriétés ou des relations entre ces éléments : prédicats et formules.
Un prédicat est une expression linguistique qui peut être reliée à un ou plusieurs éléments du domaine pour former une phrase. Par exemple, dans la phrase « Mars est une planète », l'expression « est une planète » est un prédicat qui est relié au nom (symbole de constante) « Mars » pour former une phrase. Et dans la phrase « Jupiter est plus grand que Mars », l'expression « est plus grand que » est un prédicat qui se relie aux deux noms, « Jupiter » et « Mars », pour former une phrase.
Lorsqu'un prédicat est lié à une expression, on dit qu'il exprime une propriété (telle que la propriété d'être une planète), et lorsqu'il est lié à deux ou plusieurs expressions, on dit qu'il exprime une relation (telle que la relation d'être plus grand). Ainsi on peut raisonner sur des énoncés comme « il existe un tel que pour tout , est ami avec », ce qui est exprimé symboliquement par la formule :
Il convient de noter cependant que la logique du premier ordre ne contient aucune relation spécifique (comme telle relation d'ordre, d'inclusion ou d'égalité) ; en fait, il ne s'agit que d'étudier la façon dont on doit parler et raisonner avec les expressions du langage mathématique.
Les traits caractéristiques de la logique du premier ordre sont :
- l'utilisation de variables comme , , etc. pour dénoter des éléments du domaine d'interprétation ;
- l'utilisation de prédicats (ou relations) sur les éléments ;
- l'utilisation d'opérations logiques (et, ou, implique, etc.) ;
- l'utilisation de quantifications, par exemple, l'une universelle (« Quel que soit », « pour tout » noté ∀) et l'autre existentielle (« il existe au moins un… tel que », noté ∃).
Le calcul des prédicats du premier ordre égalitaire adjoint au calcul des prédicats un symbole de relation, l'égalité, dont l'interprétation est l'affirmation que deux éléments sont les mêmes, et qui est axiomatisée en conséquence. Suivant le contexte, on peut parler simplement de calcul des prédicats pour le calcul des prédicats égalitaire.
On parle de logique du premier ordre par opposition aux logiques d'ordre supérieur, où l'on peut aussi appliquer les quantificateurs et les prédicats aux prédicats ou aux fonctions, en plus des variables. En outre, cet article ne traite que de la logique du premier ordre classique, mais on notera qu'il existe aussi une logique du premier ordre intuitionniste.