Loading AI tools
symboles mathématiques, précisant comment une propriété est vérifiée par un objet De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, les expressions « pour tout » (ou « quel que soit ») et « il existe », utilisées pour formuler des propositions mathématiques dans le calcul des prédicats, sont appelées des quantifications. Les symboles qui les représentent en langage formel sont appelés des quantificateurs (ou autrefois des quanteurs[1],[2]).
La quantification universelle (« pour tout ... » ou « quel que soit ... ») se dénote par le symbole ∀ (un A à l'envers).
Exemple :
se lit
et signifie
La notation « ∀ » a été utilisée pour la première fois[3],[4] par Gerhard Gentzen en 1933 (publié en 1934[5]). Le mot allemand alle signifiant « tout », il propose un « symbole (Zeichen) valant pour tout (für alle) ». Gentzen indique qu'il a choisi comme « symbole pour tout » (All-Zeichen) le A renversé par analogie avec le symbole « ∃ » pour le quantificateur existentiel qu'il tient de Russell (qui lui-même l'a emprunté à Peano)[6].
La quantification existentielle (« il existe un ... » au sens « il existe au moins un ... ») se note avec le signe ∃ (un E retourné). Plus précisément,
signifie
Pour exprimer l'unicité en plus de l'existence, le signe utilisé est ∃! (le quantificateur existentiel suivi d'un point d'exclamation), plus précisément,
signifie
Ce dernier quantificateur se définit en calcul des prédicats égalitaire à partir des deux quantificateurs précédents (et de l'égalité), par exemple par
La notation ∃ a tout d'abord été employée par Giuseppe Peano en 1897 dans le volume II de son Formulaire de mathématiques[7] avec une syntaxe différente, le signe étant directement associé au prédicat (∃ P pour notre ∃x P(x)). Bertrand Russell l'utilise le premier de la façon actuelle, comme un opérateur de liaison[3].
La négation de est
La négation de est
Pour une formule mise en forme prénexe, l'ordre des quantificateurs entre chaque bloc de quantificateurs identiques (donc bloc de quantificateurs existentiels ou bloc de quantificateur universels) est indifférent, la formule restant la même. Par contre, l'alternance des blocs de quantificateurs existentiels ou universels donne des formules bien distinctes dont la complexité logique s'observe notamment dans la hiérarchie arithmétique.
En déduction naturelle, Gerhard Gentzen présente les deux quantificateurs de la manière suivante[8]:
Règles d'introduction | Règles d'élimination | |
---|---|---|
pour tout | . | |
il existe |
|
Si l'on prend un groupe de chats noirs, on peut dire que quel que soit le chat que l'on choisit dans ce groupe, il sera noir. ()
Si, dans un groupe de chats noirs, il y a quelques chats blancs (ou un seul), on peut dire qu'il existe un (ou un unique) chat de couleur blanche dans ce groupe.
()
L'exposé des règles régissant les quantificateurs usuels il existe et quel que soit se trouve dans tous les manuels de calcul des prédicats dont une bibliographie peut être trouvée sur logique mathématique.
Pour une généalisation de ces quantificateurs on peut se tourner vers :
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.