Annulation catastrophique
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En analyse numérique, l'annulation catastrophique [1],[2] est le phénomène qui peut apparaitre lors du calcul de la différence de bonnes approximations de deux nombres proches et peut alors donner une très mauvaise approximation de la différence des nombres d'origine.
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Par exemple, s'il y a deux bâtons , un de longueur et l'autre de longueur
, et qu'ils sont mesurés avec une règle qui n'est précise qu'au centimètre près, alors les approximations pourraient être de
et
. On peut les voir comme de bonnes approximations, en erreur relative, des vraies longueurs : en effet, les approximations sont en erreur de moins de 2% des vraies longueurs :
.
Cependant, si on fait la soustraction des longueurs approximatives, la différence sera , alors que la véritable différence entre les longueurs est de
. La différence des approximations,
, a une erreur relative de près de 100 % de la valeur de la différence des valeurs vraies,
.
L’annulation catastrophique n’est pas affectée par la taille des entrées — elle s’applique aussi bien aux entrées grandes comme petites. Cela dépend uniquement de l’amplitude de la différence et de l’erreur commise sur les valeurs d'entrées. Ainsi, on aurait exactement la même erreur qui se produirait en soustrayant à
avec comme approximations
et
, ou en soustrayant
depuis
en partant des approximations
et
.
Une annulation catastrophique peut se produire même si la différence est calculée exactement, comme dans l'exemple ci-dessus — ce n'est pas une propriété d'un type particulier d'arithmétique comme l'arithmétique à virgule flottante ; il est plutôt inhérent à la soustraction, lorsque les entrées sont elles-mêmes des approximations. En effet, en arithmétique à virgule flottante, lorsque les entrées sont suffisamment proches, la différence en virgule flottante est calculée exactement, par le lemme de Sterbenz — il n'y a pas d'erreur d'arrondi introduite par l'opération de soustraction en virgule flottante.