Skewesin luku

Skewesin luku viittaa lukuteoriassa esiintyviin erittäin suuriin lukuihin, jotka on nimetty eteläafrikkalaisen matemaatikon Stanley Skewesin mukaan. Nämä luvut ovat ylärajoja pienimmälle luonnolliselle luvulle x , jolle

${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)>0}$

missä alkulukufunktio π ilmaisee annettua lukua pienempien tai yhtäsuurten alkulukujen lukumäärä^[1][2]ja li on logaritminen integraalifunktio ${\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}}$.

Historia

Stabley Skewesin opettaja, John Edensor Littlewood, todisti vuonna 1914^[3], että kyseinen luku on olemassa, sekä huomasi sen, että erotuksen π(x) − li(x) etumerkki vaihtuu äärettömän monta kertaa. Siihen asti kaikki saatavilla oleva tieto näytti viittavan, että π(x) on aina vähemmän kuin li(x). Lausekkeen todistukselle on kaksi vaihtoehtoa: joko oletetaan Riemannin hypoteesin olevan epätosi, tai vaikeammassa todistuksessa, että se on tosi.

Skewes todisti 1933 että, jos oletetaan Riemannin hypoteesin olevan tosi, on olemassa luku x, joka on pienempi kuin

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}}$ ^[4]

Tätä lukua kutsutaan myös Skewesin ensimmäiseksi luvuksi, jonka likiarvona käytetään lukua

${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}.}$

Vuonna 1955 pystyttiin todistamaan ilman Riemannin hypoteesia, että on olemassa luku x, joka on pienempi kuin

${\displaystyle 10^{10^{10^{963}}}}$.^[5]

Näitä ylärajoja on sittemmin saatu pienemmiksi Riemannin hypoteesia, Herman te Riele sai 1987^[6] ylärajaksi

${\displaystyle 7\times 10^{370}\ }$

ja vielä paremman arvion ${\displaystyle 1.39822\times 10^{316}}$ löysivät Carter Bays ja Richard H. Hudson vuonna 2000.^[7]

Lähteet

1. A table of prime counts pi(x) to 1e16 (Arkistoitu – Internet Archive)
2. https://sites.google.com/site/largenumbers/home/2-3/skewes (Arkistoitu – Internet Archive) Skewes' Numbers
3. Littlewood: Sur la distribution des nombres premiers. Comptes Rendus Acad. Sci., Bd. 158, 1914, S. 1869–1872. Ausführlich bewiesen in Hardy, Littlewood: Contributions to the theory of the Riemann Zeta Function and the Theory of the Distribution of Primes. Acta Mathematica, Bd. 41, 1918, S. 119–196. Beweisdarstellungen finden sich in Prachar: Primzahlverteilung. Springer, 1957, Narkiewicz: Development of Prime Number Theory., Springer, 2000, S. 322 ff., Albert Ingham: The distribution of prime numbers. 1932.
4. Skewes, S. (1933), "On the difference π(x) − Li(x)", Journal of the London Mathematical Society 8: 277–283
5. Skewes, S. (1955), "On the difference π(x) − Li(x) (II)", Proceedings of the London Mathematical Society 5: 48–70, MR 0067145
6. H. J. J. te Riele, « On the Sign of the Difference π(x) – li(x) », Math. Comp., vol. 48,‎ 1987, p. 323-328 (DOI 10.2307/2007893)
7. Skewes' problem. (Arkistoitu – Internet Archive)

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.