Matriisielementti

Matriisielementti on kvanttimekaniikassa käytetty termi, jonka avulla tyypillisesti observaabeleita kuvaaville lineaarioperaattoreille saadaan aikaiseksi matriisiesitys. Matriisielementti lasketaan operaattorista operoimalla siihen vasemmalta ja oikealta tilavektoreilla.

Oletetaan, että tilat ${\displaystyle \{|n\rangle \}}$ muodostavat täydellisen kannan. Merkitään näitä vastaavia konjugaattitilojen joukkoa merkinnällä ${\displaystyle \{\langle m|\}}$. Tällöin lineaarioperaattorin ${\displaystyle {\hat {A}}}$ matriisielementti on

${\displaystyle A_{mn}\equiv \langle m|{\hat {A}}|n\rangle .}$

Esimerkiksi paikka-avaruuden tilavektorit (aaltofunktiot) ovat muotoa ${\displaystyle \psi _{n}({\vec {r}})}$ jonka konjugaattitila on ${\displaystyle \psi _{n}^{*}({\vec {r}})}$. Tällöin matriisielementti on

${\displaystyle A_{mn}\equiv \int {\vec {dr}}{\vec {dr}}'\psi _{m}^{*}({\vec {r'}}){\hat {A}}(r',r)\psi _{n}({\vec {r}}).}$

Integrointialueena toimii koko paikka-avaruus.

Esimerkki: spin-1/2

Spin-1/2 -hiukkasten spin-aaltofunktiot ovat muotoa

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}},}$

missä a ja b ovat kompleksilukuja. Tämän spin-avaruuden operaattorit ovat lineaarikombinaatioita Paulin spin-matriiseista ${\displaystyle \sigma _{i}}$, ${\displaystyle i\in 0,1,2,3}$ (tai ${\displaystyle i\in 0,x,y,z}$). ${\displaystyle \sigma _{0}}$ on avaruuden identiteettimatriisi. Valitaan kannaksi tilat

${\displaystyle |0\rangle \equiv {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{ja}}\quad |1\rangle \equiv {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

ja

Näin esimerkiksi matriisin ${\displaystyle \sigma _{1}}$ matriisielementit ovat

${\displaystyle \langle 0|\sigma _{1}|0\rangle =0\quad \langle 0|\sigma _{1}|1\rangle =1\quad \langle 1|\sigma _{1}|0\rangle =1\quad {\text{ja}}\quad \langle 1|\sigma _{1}|1\rangle =0.}$

Käyttö

Matriisielementit ovat hyödyllisiä erityisesti erilaisia energiatasosiirtymiä tarkasteltaessa. Siirtymien valintasäännöt määräytyvät yleensä juuri matriisielementeistä. Jos halutaan tutkia millaisia häiriöitä tietty häiritsevä voima systeemiin tuo, etsitään tuota voimaa kuvaavan häiriöpotentiaalin matriisielementit jossain systeemin luonnollisessa kannassa. Jos matriisielementti joidenkin tilojen välillä häviää, myös vastaavaa transitiota ei voida kyseisellä voimalla saada aikaiseksi.

Atomien elektronien energiatilojen välisiä transitioita ulkoisessa sähkökentässä kuvataan yleisesti matriisielementtien avulla. Dipolikenttä saa esimerkiksi aikaan transitioita, joissa elektronin pääkvanttiluku muuttuu yhdellä ylös- tai alaspäin. Muuntyyppisten transitioiden matriisielementit ovat nollia.