Kultainen suorakulmio

Kultainen suorakulmio on suorakulmio, jonka sivujen suhde on sama kuin kultaisen leikkauksen suhdeluku, joka on 1 : φ = ${\displaystyle 1:{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ eli noin 1:1,618.

Kun kultainen suorakulmio, jonka sivut ovat a ja b, sijoitetaan sellaisen neliön viereen, jonka sivu on a, saadaan uusi alkuperäisen kanssa yhdenmuotoinen kultainen suorakulmio, jonka sivut ovat a + b ja a.

Kultaisen suorakulmion pidemmän sivun suhde kahden vierekkäisen sivun summaan on sama kuin sen lyhemmän sivun suhde pidempään, joka taas on yhtä suuri kuin sivujen erotuksen suhde lyhempään sivuun. Toisin sanoen jos merkitään sen pidempää sivua a:lla ja lyhempää b:llä, on

${\displaystyle {\frac {a}{a+b}}={\frac {b}{a}}={\frac {a-b}{b}}}$

Konstruointi

Kultaisen suorakulmion konstruointi.

Kultainen suorakulmio voidaan konstruoida harpin ja viivaimen avulla seuraavasti:

1. Piirretään neliö (oheisessa kuvassa punainen).
2. Piirretään yhden sivun keskipisteestä jana vastakkaisen sivun päätepisteeseen.
3. Saatu jana säteenä piirretään ympyrä, jonka keskipiste ko. janan alkupiste.
4. Jatketaan neliön sitä sivua, jossa ympyrän keskipiste on, ympyrän kehään saakka. Tällöin saadaan kultaisen suorakulmion pitempi sivu; lyhempi sivu on tätä vastaan kohtisuora alkuperäisen neliön sivu.

Merkitään alkuperäisen neliön sivun pituutta a:lla. Silloin oheisessa kuvassa neliön oikeanpuoleisen sivun ylempi puolikas, neliön ylempi sivu ja neliön puolikkaaseen piirretty halkaisija muodostavat suorakulmaisen kolmion. Pythagoraan lauseesta seuraa, että tämän halkaisijan pituus on ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+{\frac {a}{2}}^{2}}}=a{\frac {\sqrt {5}}{4}}}$. Kun tähän lisätään neliön oikeanpuoleisen sivun alemman puolikkaan pituus a/2, saadaan konstruoidun suorakulmion oikeanpuoleisen sivun pituudeksi ${\displaystyle a{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ eli a kerrottuna kultaisen leikkauksen suhdeluvulla.^[1]

Ominaisuuksia

Sisäkkäiset kultaiset suorakulmiot ja kultainen spiraali (kuvassa vihreä viiva)

Kolme kultaista suorakulmiota ikosaedrin sisällä

Kultainen suorakulmio voidaan jakaa kahteen osaan, joista toinen on neliö, toinen taas pienempi kultainen suorakulmio, joka on yhdenmuotoinen alkuperäisen kanssa^[2] (mutta eri asennossa). Vastaavasti jos kultaisen suorakulmion lyhemmälle sivulle piirretään neliö, se ja alkuperäinen suorakulmio yhdessä muodostavat uuden kultaisen suorakulmion.

Tällainen neliön lisääminen tai poistaminen voidaan toistaa kuinka monta kertaa tahana, jolloin saadaan päättymätön sarja sisäkkäisiä kultaisia suorakulmioita. Niiden janojen kärkipisteet, joissa neliö ja kultainen suorakulmio kohtaavat, muodostavat päättymättömän pisteiden sarjan, joka sijaitsee kultaisella spiraalilla.^[2]

Jos kultaisen suorakulmion sivujen keskipisteet yhdistetään, saadaan kultainen neljäkäs, joka näin ollen on kultaisen suorakulmion duaali.

Yhteydet säännöllisiin monikulmioihin ja monitahokkaisiin

Paitsi kultaisessa suorakulmiossa, esiintyy kultaisen leikkauksen mukainen suhde myös säännöllisessä viisi- ja kymmenkulmiossa.^[3]

Jos säännöllisen ikosaedrin kahden vastakkaisen särmän päätepisteet yhdistetään ikosaedrin läpi kulkevilla janoilla, nämä janat yhdessä mainittujen särmien kanssa muodostavat kultaisen suorakulmion. Ikosaedrin kaksitoista kärkeä voidaan täten yhdistää kolmella tällaisella suorakulmiolla, jotka ovat eri tasoissa, jokainen niistä kohtisuorassa kahta muuta vastaan.^[4]

Kultainen suorakulmio kuvataiteessa ja arkkitehtuurissa

Babylonialainen Shamasin kivitaulu (800-luvulta eKr.) on likimain kultaisen suorakulmion muotoinen, samoin sen ylälaidassa oleva kuvaosa.

Parthenonin länsipääty, jonka korkeuden ja leveyden suhde on lähellä kultaista suhdetta

Georges Seurat'n maalaus Parade de Cirque on likipitäen kultaisen suorakulmion muotoinen. Lisäksi siinä olevat pysty- ja vaakasuorat viivat jakavat sen osiin, joista niistäkin monet ovat likipitäen kultaisen suorakulmion muotoisia.^[3]

Kultaista suorakulmiota on yleisesti pidetty kauneimpiana geometrisista muodoista.^[3] Sen muotoisia osia tai muita kuvioita, joiden korkeuden ja leveyden suhde on ainakin lähellä kultaista suhdetta, esiintyykin yleisesti kuvataiteissa ja arkkitehtuurissa.

Kultaista suorakulmiota muistuttavia muotoja esiintyi vanhalla ajalla jo ennen kuin Eukleides tutki sen geometrisia ominaisuuksia. Esimerkiksi Ateenan Parthenonin korkeuden ja sen päädyn leveyden suhde on lähellä kultaista suhdetta.^[3] On kuitenkin kyseenalaista, tunnettiinko tämä suhde jo Parthenonin rakentamisen aikoihin. Kuitenkin se esiintyy niin monessa yhteydessä, että kysymys tuskin on sattumasta.^[3]

Tietoisesti kultaista suhdetta on käytetty kuvataiteissa viimeistään renessanssin ajoista lähtien. Luca Pacioli käsitteli sitä vuonna 1509 teoksessaan Divina proportione.^[5]

Uudemmassa taiteessa kultainen suorakulmio esiintyy muun muassa Georges Seurat'n ja Piet Mondrianin teoksissa.^[3]