Kuboktaedri

Kuboktaedri on monitahokas, jolla on kahdeksan tasasivuisen kolmion ja kuusi neliön muotoista tahkoa. Sillä on 12 kärkeä, joista jokaisessa kohtaa toisensa kaksi kolmiota ja kaksi neliötä, sekä 24 yhtä pitkää särmää, joista jokaisen toisella puolella on kolmio, toisella puolella neliö. Se on yksi Arkhimedeen kappaleista ja samalla toinen kahdesta kuperasta kvasisäännöllisestä monitahokkaasta.^[1]

Kuboktaedri

Kuboktaedrin duaalikappale on rombidodekaedri.^[1]

Kuboktaedrin tunsi todennäköisesti jo Platon. Heron Aleksandrialaisen teoksessa Definitiones esiintyy Arkhimedeelta peräisin oleva lainaus, jonka mukaan Platon tunsi kappaleen, joka muodostuu kahdeksasta kolmiosta ja kuudesta neliöstä.^[2]

Muut nimet

Kuboktaedri tunnetaan myös nimellä heptaparalleloedri (engl. heptaparallelohedron).^[1]

Buckminster Fuller käytti tästä kappaleesta nimitystä ”Dymaxion”, sillä hän käytti sitä eräässä vuonna 1946 laatimassaan versiosta karttaprojektiosta, jolle hän antoi nimen Dymaxion-kartaksi (engl. Dymaxion map).^[3] Tämän kappaleen erikoisen symmetrian vuoksi hän nimitti sitä myös ”vektoritasapainoksi” (engl. Vector Equilibrium), sillä sen kärkien etäisyys keskipisteestä on sama kuin sen särmien pituus.^[4] Kuboktaedria, joka koostuu jäykistä särmistä mutta jonka kärjet ovat taipuisia, hän nimitti ”jitterbugiksi”. Tällainen kappale voidaan deformoida oktaedriksi, tetraedriksi tai ikosaedriksi kutistamalla sen neliömäiset tahkot.

Pinta-ala ja tilavuus

Kun kuboktaedrin särmän pituus on a, sen pinta-ala on

${\displaystyle A=(6+2{\sqrt {3}})a^{2}\approx 9{,}4641016a^{2}}$

ja tilavuus

${\displaystyle V={\frac {5}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 2{,}3570226a^{3}}$.

Suorakulmaiset projektiot

Kuboktaedrilla on neljänlaisia symmetria-akseleita, jotka kulkevat sen neliömäisten tai kolmiomaisten tahkojen keskipisteiden, särmien keskipisteiden tai kärkien kautta. Näiden symmetria-akselien suunnassa kappaleella on myös neljä erilaista suorakulmaista projektiota. Näihin nähden viistossa suunnassa saadaan myös muunlaisia projektioita.

Kuboktaedri (suorakulmaiset projektiot)

Neliömäinen tahko	Kolmiomainen tahko	Särmä	Kärki	Viisto
[4]	[6]	[2]	[2]
Rombidodekaedri (duaalikappale)

Stereografinen projektio

Koska kuboktaedrin kaikki kärjet ovat samalla etäisyydellä sen keskipisteestä, se voidaan käsittää pallon sisään piirretyksi monitahokkaaksi, ja sellaisena se voidaan projisoida tasolle stereografisella projektiolla. Tämä projektio on konformikuvaus, jossa kulmat pysyvät alkuperäisen suuruisena, mutta pinta-alat ja pituuden muuttuvat. Kuboktaedrin särmiä vastaavat pallopinnalla eräät sen isoympyrän kaaret, ja stereografisessa projektiossa ne kuvautuvat tasolle ympyränkaariksi.

ortografinen projektio	projektiopisteenä neliömäisen sivun keskipiste	projektiopisteenä kolmiomaisen sivun keskipiste	projektiopisteenä kuboktaedrin kärki
	Stereografinen projektio

Karteesiset koordinaatit

Kun kuboktaedrin keskipiste on origossa ja sen särmän pituus on ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, sen kärkipisteiden karteesiset koordinaatit ovat:^[1]

(±1,±1,0)

(±1,0,±1)

(0,±1,±1)

Neliulotteisessa avaruudessa sen koordinaatit voidaan vaihtoehtoisesti esittää myös joukon (0,1,1,2) kahdellatoista permutaatiolla.

Kantavektorit

Kuboktaedrin 12 kärkeä vastaavat yksinkertaisen Lien ryhmän A₃ kantavektoreita. Jos niihin lisätään oktaedrin kuusi kärkeä, nämä 18 kärkeä vastaavat yksinkertaisen Lien ryhmän B₃ kantavektoreita.^[5]

Kuboktaedrin jakaminen osiin

Kuboktaedrin särmät muodostavat neljä säännöllistä kuusikulmiota. Jos kuboktaedri leikataan niistä jonkin tasolla kahtia, kumpikin saaduista puoliskoista on kolmikulmainen kupoli, joka on yksi Johnsonin kappaleista.^[6]

Kuboktaedri voidaan myös jakaa kuuteen nelisivuiseen pyramidiin ja kahdeksaan tetraedriin, jotka kaikki kohtaavat toisensa sen keskipisteessä. Nämä nelisivuiset pyramidit vastaavat muodoltaan säännöllisen oktaedrin puolikkaita.

Geometrisia suhteita

Kuboktaedri voidaan muodostaa kuutiosta yhdistämällä sen vierekkäisten särmien keskipisteet kuution läpi kulkevilla janoilla. Nämä janat muodostavat tällöin kuboktaedrin särmät. Asia voidaan ilmaista myös niin, että kuution jokaisen kärjen läheisyydestä lohkaistaan kolmisivuisen pyramidin muotoinen pala pois. Kuboktaedrin neliömäiset tahkot syntyvät tällöin kuution tahkojen keskiosista, kolmiomaiset tahkot taas sen särmien läheisyydestä poistettujen osien rajapinnoista.

Vastaavalla tavalla kuboktaedri voidaan muodostaa myös säännöllisestä oktaedrista.

Jos kuboktaedrin tahkojen keskipisteet yhdistetään kappaleen läpi kulkevilla janoilla, saadaan rombidodekaedri. Vastaavasti jos rombidodekaedrin tahkojen keskipisteet yhdistetään sen läpi kulkevilla janoilla, saadaan kuboktaedri. Tämä merkitsee, että rombidodekaedri on kuboktaedrin duaalikappale.

Tetraedrin jatkuva pullistaminen kuboktaedriksi ja supistaminen alkuperäisen tetraedrin duaalitetraedriksi

Oktaedrin jatkuva muuntaminen psuedoikosaedriksi ja edelleen kuboktaedriksi ja päinvastoin

Kuboktaedri on ainoa kupera monitahokas, jonka pitkä säde (keskipisteestä kärkeen) on sama kuin särmän pituus, ja näin ollen sen pitkä halkaisija kärjestä vastakkaiseen kärkeen on kaksi kertaa särmän pituus. Tämä erikoinen symmetriaominaisuus on vain harvoilla polytoopeilla: kahdessa ulottuvuudessa säännöllisellä kuusikulmiolla, kolmessa ulottuvuudessa kuboktaedrilla sekä neljässä ulottuvuudessa 24-solulla ja tesseraktilla. Vain nämä polytoopit voidaan konstruoida tasasivuisista kolmioista, jotka kohtaavat toisensa polytoopin keskipisteessä ja joista jokaisesta muodostuu polytooppiin kaksi sädettä ja yksi särmä. Kaikki nämä voidaan myös symmetrisesti jakaa yhteneviin osiin, jotka kohtaavat toisensa polytoopin keskipisteessä, kuten esimerkiksi jaettaessa kuboktaedri kuuteen nelisivuiseen pyramidiin ja kahdeksaan tetraedriin.

Samoin kuin säännöllisillä kuusikulmioilla voidaan täyttää tasopinta, voidaan myös kolmiulotteinen avaruus täyttää kuboktaedreillä ja niiden väliin jäävillä oktaedreilla.

Neliulotteisen 24-solun tai 16-solun ekvatoriaalinen läpileikkaus on kuboktaedri. Vastaavasti kuboktaedrin ekvatoriaalinen läpileikkaus on kuusikulmio.

Kuboktaedrilla on oktaedrinen symmetria. Sen ensimmäinen stellaatio on kuution ja sen duaalisen oktaedrin yhdistelmä,^[7] jossa kuboktaedrin kärkipisteinä ovat kuution ja oktaedrin särmien yhteiset keskipisteet.

Kuboktaedrin tilavuus on 5/6 sen ympäri piirretyn kuution ja 5/8 sen ympäri piirretyn oktaedrin tilavuudesta.^[8]

Kuboktaedri voidaan käsittää myös pullistetuksi tetraedriksi tai typistetyksi tetratertaedriksi.

Särmien järjestys

Kuboktaedrilla on yhteiset särmät ja kärjet kahden ei-kuperan monitahokkaan kanssa. Ne ovat kubohemioktaedri, jonka kanssa sillä on yhteiset neliömäiset tahkot, ja oktahemioktaedri, jonka kanssa sillä on yhteiset kolmiomaiset tahkot.

Kuboktaedri

Kubohemioktaedri

Oktahemioktaedri

Kuboktaedri kulttuurissa

Kaksi kuboktaedria savupiipun huipulla Israelissa.

• Star Trek -jaksossa "By Any Other Name" muukalaiset valtaavat Enterprisen muuttamalla sen henkilökunnan jäsenet elottomiksi kuboktaedreiksi.
• Trainer Warehousen "Geo Twister Fiddle" -niminen lelu on muodoltaan taipuisa kuboktaedri.^[9]
• Coriolis -avaruusalukset tietokonepelisarjassa Elite ovat kuboktaedrin muotoisia.
• Buddhalaista vesak-juhlaa varten Sri Lankassa perinteisesti valmistetut Vesak Kuudu -nimiset lyhdyt ovat yleensä kuboktaedrin muotoisia.^[10]
• Kiinalaisten mellakkapoliisien käyttämän chuí -nimisen lyömäaseen sekä useiden muiden nuijan tyyppisten aseiden lyöntipää on toisinaan kuboktaedrin muotoinen.

Kuboktaedrinen graafi

Kuboktaedrinen graafi

Matemaattisessa graafiteoriassa kuboktaedrinen graafi on kuboktaedrin särmien ja kärkien muodostama graafi. Sillä on 12 solmua ja 24 kaarta, ja se on neljännen asteen graafi, toisin sanoen sen jokaisessa solmussa kohtaa toisensa neljä kaarta. Se myös Arkhimedeen graafi, koska kuboktaedri kuuluu Arkhimedeen kappaleisiin. Se on myös Hamiltonin graafi.^[11]