Heronin kolmio

Heronin kolmio on sellainen kolmio, jonka sivujen pituudet ja pinta-ala ovat rationaalilukuja. Myös korkeudet on tällöin rationaalisia. Heronin kolmioita etsittäessä voidaan käyttää Heronin kaavaa. Heronin kaava on nimetty Heron Aleksandrialaisen mukaan, kuten myös Heronin kolmio.

Esimerkkejä

Mikä tahansa kolmio, jonka sivunpituudet on Pythagoraan kolmikko, on Heronin kolmio.

Kolmio, jonka sivunpituudet c, e ja b + d, sekä korkeus a.

Kolmio jolla ei ole suorakulmaa ja jonka sivujen pituudet on 5, 5, ja 6 ja pinta ala on 12. Tämä kolmio saadaan konstruoitua, kun otetaan kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden sivujen pituudet ovat 3, 4 ja 5. Nämä kolmiot asetetaan siten, että 4:n pituiset sivut ovat vastakkain. Luvut 3, 4 ja 5 muodostavat tunnetusti Pythagoraan kolmikon.

Tämä esimerkki voidaan laajentaa yleiseksi tapaukseksi. Eli oletetaan olevan olemassa Pythagoraan kolmikko(a, b, c) ja valitaan, että c on pisin sivu. Tarvitaan myös toinen Pythagoraan kolmikko (a, d, e), missä e voidaan valita pisimmäksi sivuksi. Nämä kolmiot yhdistetään siten, että sivut a. Näin saadaan kolmio, jonka sivujen pituudet ovat c, e, and b + d. Tällöin kolmion pinta-ala on siis

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a}$ .

Lause

On olemassa Heronin kolmio siten, että se voidaan jakaa kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi, joiden sivujenpituudet muodostavat rationaalilukuiset Pythagoraan kolmikot.

Lauseen todistus

Käytetään todistuksessa apuna aiemmin esitettyä esimerkin yleistystä: Olkoon Heronin kolmion sivujen pituudet c, e, b + d ja pinta-ala A määritelmän mukaan rationaalilukuja. Oletetaan myös, että sivu jonka pituus on b + d is on pisin. Jotta saadaan osoitettua, että (a, b, c) and (a, d, e) ovat Pythagoraan kolmikoita täytyy todistaa, että luvut a, b, ja d ovat rationaalisia.

Osoitetaan ensin, että luku "a" on rationaalinen. Koska kolmion pinta-ala on

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a,}$

niin

${\displaystyle a={\frac {2A}{b+d}}.}$

Oikean puolen luvut ovat oletuksen nojalla rationaalisia, siis myös a on rationaaliluku. Osoitetaan sitten, että luvut b ja d ovat rationaalisia. Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisille kolmioille pätee, että

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}$

ja

${\displaystyle a^{2}+d^{2}=e^{2}.\,}$

Joista saamme, että

${\displaystyle b^{2}-d^{2}=c^{2}-e^{2}\,}$

ja

${\displaystyle b-d={\frac {c^{2}-e^{2}}{b+d}}.\,}$

Taas oikean puolen luvut ovat oletuksen nojalla rationaalisia ja siten myös b − d täytyy olla rationaalinen. Oletuksen mukaan b + d on rationaalinen, joten täytyy olla, että b ja d ovat rationaalisia.

Täsmällinen kaava Heronin kolmioille

Kaavan kaikille Heronin kolmioille kehitti Euler. Tässä on Brahmagubtan ja Carmichaelin esittämä versio:

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})\,}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})\,}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})\,}$

${\displaystyle s=mn(m+n)\,}$

${\displaystyle A=mnk(m+n)(mn-k^{2})\,}$

Missä s on puolikas piiri ja A on pinta-ala. Pätee myös, että

${\displaystyle syt(m,n,k)=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1}$.

Taulukko

Tässä taulukossa on listattu pienimmät sellaiset Heronin kolmiot, joiden sivujen pituuksien suurin yhteinen tekijä on 1.

Pinta-ala	Ympärysmita	Pituus b+d	Pituus e	Pituus c
6	12	5	4	3
12	16	6	5	5
12	18	8	5	5
24	32	15	13	4
30	30	13	12	5
36	36	17	10	9
36	54	26	25	3
42	42	20	15	7
60	36	13	13	10
60	40	17	15	8
60	50	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	20	13	11
72	64	30	29	5
84	42	15	14	13
84	48	21	17	10
84	56	25	24	7
84	72	35	29	8
90	54	25	17	12
90	108	53	51	4
114	76	37	20	19
120	50	17	17	16
120	64	30	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21	20	13
126	84	41	28	15
126	108	52	51	5
132	66	30	25	11
156	78	37	26	15
156	104	51	40	13
168	64	25	25	14
168	84	39	35	10
168	98	48	25	25
180	80	37	30	13
180	90	41	40	9
198	132	65	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21	20
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	65	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41	15
240	90	40	37	13
252	84	35	34	15
252	98	45	40	13
252	144	70	65	9
264	96	44	37	15
264	132	65	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	65	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	20
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	11
330	220	109	100	11
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	15
336	392	195	193	4
360	90	36	29	25
360	100	41	41	18
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	11
396	242	120	109	13

Aiheesta muualla

• Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian^{[vanhentunut linkki]}
• Wm. Fitch Cheney, Jr., Heronian Triangles Am. Math. Montly 36 (1) (1929) 22-28.
• S. sh. Kozhegel'dinov On fundamental Heronian triangles Math. Notes 55 (2) (1994) 151-156.