Binomi

Binomi on algebrassa polynomi, joka koostuu kahdesta termistä.^[1] Binomi on siis kahden monomin summa.

Binomin neliön arvon riippuvuus termiensä arvoista.

Määritelmä

Binomi on tasan kahden monomin summa.

Yhden muuttujan binomi voidaan kirjoittaa muodossa

${\displaystyle ax^{m}+bx^{n}}$,

missä ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ ovat vakioita, ${\displaystyle m}$ ja ${\displaystyle n}$ ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja ${\displaystyle x}$ on muuttuja.

Yleisempi, usean muuttujan binomi voidaan kirjoittaa aina muodossa:

${\displaystyle a\cdot x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\dots x_{i}^{n_{i}}+b\cdot x_{1}^{m_{1}}x_{1}^{m_{2}}\dots x_{i}^{m_{i}}}$,

missä ${\displaystyle x_{1}}$,${\displaystyle x_{2}}$, ... ja ${\displaystyle x_{i}}$ ovat muuttujia, ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ ovat edelleen vakioita; ja ${\displaystyle n_{1}}$,${\displaystyle n_{2}}$, ... ja ${\displaystyle n_{i}}$ sekä ${\displaystyle m_{1}}$,${\displaystyle m_{2}}$, ... ja ${\displaystyle m_{i}}$ ei-negatiivisia kokonaislukuja.^[2]

Esimerkkejä

• ${\displaystyle 3x-2x^{2}}$
• ${\displaystyle xy+yx^{2}}$
• ${\displaystyle 0.9x^{3}+\pi y^{2}}$
• ${\displaystyle 2x^{3}+7}$

Laskusääntöjä

Lukujen neliöiden erotuksen arvon riippuvuus summan ja erotuksen tulosta.

• Binomi ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ voidaan jakaa tekijöihin kahden muun binomin tuloksi

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).\quad }$

• Kahden lineaaribinomin ax + b ja cx + d tulo on

${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=ax\cdot (cx+d)+b\cdot (cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd\!\,.}$

• Binomi a + b korotettuna n:nteen potenssiin, eli ${\displaystyle (a+b)^{n},}$ voidaan binomilauseen mukaan kehittää polynomiksi, jonka kertoimet löytyvät esi­merkiksi Pascalin kolmiosta. Näitä kertoimia kutsutaan myös binomi­kertoimiksi.
  • Esimerkiksi tapauksessa ${\displaystyle n=2}$:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$.

Katso myös

• Binomijakauma
• Binomikerroin
• Binomilause
• Monomi
• Trinomi

Lähteet

1. Eric W. Weisstein: Binomial mathworld.wolfram.com. Viitattu 1.4.2022. (englanniksi)
2. Bernd Sturmfels: Solving Systems of Polynomial Equations. American Mathematical Soc.. ISBN 978-0-8218-8941-1 Teoksen verkkoversio Viitattu 1.4.2022. (englanniksi)