FI
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Ympyrä

Ympyrä

geometrinen muoto From Wikipedia, the free encyclopedia

Ympyrä
Ympyrän kehän pituus ja pinta-alaYmpyrän kaari, sektori ja segmenttiYmpyrän yhtälö kaksiulotteisessa reaaliavaruudessaKeskipisteen ja säteen avullaKolmen pisteen avullaYmpyrän kulmiaNeljä ympyrääSeitsemän ympyrääYmpyrä ja neliöYmpyrä ja paraabeliKatso myösLähteetKirjallisuuttaAiheesta muualla

Ympyrä on geometriassa kaikkien niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä (ympyrän keskipisteestä) on yhtä suuri kuin ympyrän säde r. Kehän pisteeltä toiselle kulkevaa janaa kutsutaan jänteeksi. Halkaisija on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Ympyrän pyörähdyskappale sen keskipisteen kautta kulkevan suoran ympäri on pallo.

Ympyrä ja sen osia

Ympyrän voidaan ajatella olevan erikoistapaus ellipsistä, joka on ympyrän ohella yksi kartioleikkauskuvio.

Ympyräksi kutsutaan usein myös ympyrän kehän sisään jäävää tason osaa eli ympyräkiekon aluetta, joka koostuu pisteistä, joiden etäisyys keskipisteestä on pienempi tai yhtä suuri kuin säde. Muun muassa metristen avaruuksien topologiassa ja kompleksianalyysissä alueesta käytetään nykyisin yleensä termiä kiekko.[1]

Piirin ja halkaisijan suhde on vakio, pii, joka merkitään kreikkalaisella kirjaimella π   {\displaystyle \pi \ \,} {\displaystyle \pi \ \,}.

Ympyrän kehän (piirin) pituus p {\displaystyle p} {\displaystyle p} saadaan kaavasta:

p = 2 π r   {\displaystyle p=2\pi r\ } {\displaystyle p=2\pi r\ }, jossa r {\displaystyle r} {\displaystyle r} on ympyrän säde ja π   {\displaystyle \pi \ \,} {\displaystyle \pi \ \,}on vakio pii noin 3,14.

Voidaan myös ilmaista säde r {\displaystyle r} {\displaystyle r} ja halkaisijan d {\displaystyle d} {\displaystyle d} avulla, eli 2 r = d {\displaystyle 2r=d} {\displaystyle 2r=d}:

p = π d   {\displaystyle p=\pi d\ } {\displaystyle p=\pi d\ }

Ympyrän sisään jääneen alueen pinta-ala A {\displaystyle A} {\displaystyle A} saadaan kaavasta:

A = π r 2 {\displaystyle A=\pi {r^{2}}\,} {\displaystyle A=\pi {r^{2}}\,}, missä r {\displaystyle r} {\displaystyle r} on ympyrän säde tai vastaavasti:
A = π 4 d 2 {\displaystyle A={\frac {\pi }{4}}d^{2}} {\displaystyle A={\frac {\pi }{4}}d^{2}}, jossa d {\displaystyle d} {\displaystyle d} on ympyrän halkaisija.

Jos ympyrän kehän pituus p {\displaystyle p} {\displaystyle p} tunnetaan, voidaan pinta-ala A {\displaystyle A} {\displaystyle A} laskea kaavasta:

A = p 2 4 π {\displaystyle A={\frac {p^{2}}{4\pi }}} {\displaystyle A={\frac {p^{2}}{4\pi }}}

Jos ympyrän halkaisija d {\displaystyle d} {\displaystyle d} ja kehän pituus p {\displaystyle p} {\displaystyle p} tunnetaan, voidaan pinta-ala laskea (ilman lukua π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }) kaavasta:

A = p d 4 {\displaystyle A={\frac {pd}{4}}} {\displaystyle A={\frac {pd}{4}}}

Jos tarkastellaan vakiomittaisia sulkeutuvia käyriä, on ympyrä sellainen käyrän muoto, joka sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen pinta-alan.

Matemaattisesti tämä isoperimetrisen epäyhtälön nimellä kulkeva tulos voidaan muotoilla seuraavasti. Olkoon p {\displaystyle p} {\displaystyle p} sulkeutuvan, jatkuvan ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän eli Jordanin käyrän pituus ja A {\displaystyle A} {\displaystyle A} sen rajaaman äärellisen tasoalueen pinta-ala. Tällöin

p 2 A ≥ 4 π {\displaystyle {\frac {p^{2}}{A}}\geq 4\pi } {\displaystyle {\frac {p^{2}}{A}}\geq 4\pi }

missä yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun kyseessä on ympyrä.

Ympyrän kaari tarkoittaa ympyrän kehän osaa.[2] Esim. sektori tai segmentti jakaa ympyrän kehän kahteen kaareen.

Ympyrän kaaren pituus saadaan jakamalla kaaren rajaavan keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän kehän pituuden kaavalla p = 2 π r   {\displaystyle p=2\pi r\ } {\displaystyle p=2\pi r\ }.

Ympyrän sektori tarkoittaa ympyrän kahden säteen ja niiden ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.[2]

Ympyrän sektorin pinta-ala saadaan jakamalla sektorin rajaavien säteiden muodostaman keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän pinta-alan kaavalla A = π r 2 {\displaystyle A=\pi {r^{2}}\,} {\displaystyle A=\pi {r^{2}}\,}.

Ympyrän segmentti tarkoittaa ympyrän jänteen ja sen ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.

Keskipisteen ja säteen avulla

Olkoon piste (x0,y0) ympyrän keskipiste, r ympyrän säde ja piste (x,y) mikä tahansa koordinaatiston piste. Jokaisen ympyrän kehän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on ympyrän säde eli r. Kuvitellaan suorakulmainen kolmio, jonka terävinä kulmina on pisteet (x0,y0) ja (x,y). Kolmion hypotenuusan pituus eli pisteiden etäisyys on Pythagoraan lauseen mukaan

( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 {\displaystyle {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}} {\displaystyle {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}

Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan

r = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 {\displaystyle r={\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}} {\displaystyle r={\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}

Korottamalla yhtälö puolittain toiseen saadaan hieman kätevämpi muoto

r 2 = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 {\displaystyle r^{2}=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}\,\!} {\displaystyle r^{2}=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}\,\!}

Josta saadaan poistamalla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto:

x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\,\!} {\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\,\!} , jossa a, b, c ja r ovat reaalilukuja:
a = − 2 x 0 , b = − 2 y 0 , c = x 0 2 + y 0 2 − r 2 {\displaystyle a=-2x_{0},b=-2y_{0},c=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}} {\displaystyle a=-2x_{0},b=-2y_{0},c=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}} [3]

Jos ympyrän keskipiste on pisteessä (0,0), ts. origossa, on ympyrän yhtälö

r 2 = x 2 + y 2 {\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}\,\!} {\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}\,\!}

joka on parametrimuodossa:

{ x = r cos ⁡ t y = r sin ⁡ t {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=r\cos {t}\\y=r\sin {t}\end{matrix}}\right.} {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=r\cos {t}\\y=r\sin {t}\end{matrix}}\right.}

Napakoordinaattiesitys origokeskiselle ympyrälle on yksinkertaisesti: r = vakio

Kun ympyrän yhtälö tunnetaan, voidaan sen pinta-ala ja kehän pituus laskea myös integroimalla. Lisäksi voidaan johtaa kaavat pallon tilavuudelle ja pinta-alalle.

Kolmen pisteen avulla

Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään P 1 ( x 1 , y 1 ) , {\displaystyle \scriptstyle P_{1}(x_{1},y_{1}),} {\displaystyle \scriptstyle P_{1}(x_{1},y_{1}),} P 2 ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle \scriptstyle P_{2}(x_{2},y_{2})} {\displaystyle \scriptstyle P_{2}(x_{2},y_{2})} ja P 3 ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle \scriptstyle P_{3}(x_{3},y_{3})} {\displaystyle \scriptstyle P_{3}(x_{3},y_{3})}, voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla

| x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 | = 0 , {\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0,} {\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0,} [4]

joka on evaluoituna

a ( x 2 + y 2 ) + b x x + b y y + c = 0 , {\displaystyle a(x^{2}+y^{2})+b_{x}x+b_{y}y+c=0,} {\displaystyle a(x^{2}+y^{2})+b_{x}x+b_{y}y+c=0,} [4]

missä

a ≡ | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | , {\displaystyle a\equiv {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}},} {\displaystyle a\equiv {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}},}

x:n kerroin b x {\displaystyle b_{x}} {\displaystyle b_{x}} saadaan matriisista

D = [ x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 ] {\displaystyle D={\begin{bmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\\\end{bmatrix}}} {\displaystyle D={\begin{bmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\\\end{bmatrix}}}

jättämällä x i {\displaystyle x_{i}} {\displaystyle x_{i}} termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti b y {\displaystyle b_{y}} {\displaystyle b_{y}}:n suhteen) determinantista

b x = − | x 1 2 + y 1 2 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 y 3 1 | {\displaystyle b_{x}=-{\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\\\end{vmatrix}}} {\displaystyle b_{x}=-{\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\\\end{vmatrix}}}

ja

b y = | x 1 2 + y 1 2 x 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 1 | , {\displaystyle b_{y}={\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&1\\\end{vmatrix}},} {\displaystyle b_{y}={\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&1\\\end{vmatrix}},}

ja vakiotermi c

c ≡ − | x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 | . {\displaystyle c\equiv -{\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}\\\end{vmatrix}}.} {\displaystyle c\equiv -{\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}\\\end{vmatrix}}.}

Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa

( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 , {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2},} {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2},} [4]

missä keskipisteen koordinaatit ovat

x 0 = − b x 2 a {\displaystyle x_{0}=-{\frac {b_{x}}{2a}}} {\displaystyle x_{0}=-{\frac {b_{x}}{2a}}}

ja

y 0 = − b y 2 a {\displaystyle y_{0}=-{\frac {b_{y}}{2a}}} {\displaystyle y_{0}=-{\frac {b_{y}}{2a}}}

sekä säde

r = b x 2 + b y 2 − 4 a c 2 | a | . {\displaystyle r={\frac {\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}-4ac}}{2|a|}}.} {\displaystyle r={\frac {\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}-4ac}}{2|a|}}.} [4]

Ympyrän kehäkulmaksi kutsutaan sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärkipiste on ympyrän kehällä ja jonka molempien kylkien osana on jänne tai jonka toisen kyljen osana on jänne ja toinen kylki on tangentilla. Keskuskulma taas tarkoittaa sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Tangenttikulma tarkoittaa kulmaa, joiden kyljet ovat tangenteilla.

Thumb
Neljä toisia sivuavaa ympyrää

Piirrettäessä neljä samanlaista ympyrää sivuamaan toisia siten, että ympyröiden keskipisteet muodostavat neliön, on ympyröiden väliin jäävän alueen (merkitty harmaalla) pinta-ala

A = ( 4 − π ) r 2 {\displaystyle A=(4-\pi )r^{2}} {\displaystyle A=(4-\pi )r^{2}},

missä r on kunkin ympyrän säde.[5]

Thumb
Seitsemän toisia sivuavaa ympyrää

Ympyrän ympärille voidaan piirtää tiiviiksi ryhmäksi kuusi muuta samanlaista ympyrää siten, että kukin lisätty ympyrä sivuaa kahta muuta ja keskusympyrää.

Mikäli ympäröivien ympyröiden säde on kaksi kertaa niin suuri kuin keskusympyrän säde r, ympäröivien ympyröiden määräksi tulee viisi. Jos ympäröivien ympyröiden säde on r/2, niitä mahtuu kuvioon kymmenen.[6]

Thumb
Ympyrä ja neliö

Mikäli ympyrällä ja neliöllä on viisi yhteistä pistettä kuvan osoittamalla tavalla, niin ympyrän säteen ja neliön sivun suhde on 5/8.[7]

Thumb
Paraabelien pisteet ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista

Sellaisten pisteiden ura, jotka ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista, on paraabeli.[8] Kuvioita on kaksi, ja niitä kuvaavat yhtälöt

y = ± x 2 − r 2 2 r {\displaystyle y=\pm {x^{2}-r^{2} \over 2r}} {\displaystyle y=\pm {x^{2}-r^{2} \over 2r}}
  • Pisteen potenssi
  • Ympyrän keskipisteen konstruointi
  1. [1]
    Kompleksianalyysi (sivu 13) users.jyu.fi. Viitattu 1.9.2010.
  2. [2]
    Tammi: Matematiikan teoriakirja Kolmio
  3. [3]
    Yngve Lehtosaari – Jarkko Leino: Matematiikka 10. Lukion laajempi kurssi. (6.1. Ympyrä, s. 152) Helsinki: Kirjayhtymä, 1971.
  4. [4]
    Weisstein, Eric W.: Circumcircle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. [5]
    Jukka Kangasaho, Jukka Mäkinen, Juha Oikkonen, Johannes Paasonen, Maija Salmela: Geometria (Pitkä matematiikka). (Tehtävän 224, s. 101, mukaan) WSOY, 2001. ISBN 951-0-24558-5
  6. [6]
    Jukka Kangasaho ym. (Tehtävän 249, s. 107, mukaan).
  7. [7]
    Metsänkylä, Y. ja Metsänkylä, R.: Matemaattiset tehtävät ylioppilastutkinnoissa 1969–1989. (36. painos, s. 15, 80) Jyväskylä, Gummerus, 1981. ISBN 951-20-1814-4
  8. [8]
    Metsänkylä, Y. ja Metsänkylä, R.: Tehtävä 6, s. 15, 81.
    • Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6
    • Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0
    • Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
    Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Ympyrä.
    • Opetusvideo ympyrän kehän ja kaaren pituudesta
    • Opetusvideo ympyrään liittyvistä käsitteistä
    • Opetusvideoita ympyrään liittyvistä pinta-aloista
    • Ympyrän pinta-alan laskeminen

     

    Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

    Wikiwand in your browser!

    Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

    Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

    Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

    Chrome
    Wikiwand for Chrome
    Edge
    Wikiwand for Edge
    Firefox
    Wikiwand for Firefox

    Ympyrän kehän pituus ja pinta-ala

    Ympyrän kaari, sektori ja segmentti

    Ympyrän yhtälö kaksiulotteisessa reaaliavaruudessa

    Ympyrän kulmia

    Neljä ympyrää

    Seitsemän ympyrää

    Ympyrä ja neliö

    Ympyrä ja paraabeli

    Katso myös

    Lähteet

    Kirjallisuutta

    Aiheesta muualla