From Wikipedia, the free encyclopedia
Topologiassa ja siihen liittyvillä matematiikan aloilla tekijäavaruus on, intuitiivisesti ilmaistuna tulos, joka saadaan samastamalla toisiinsa tai ”liimaamalla yhteen” jotkin annetut topologisen avaruuden pisteet. Toisiinsa samastettavat tai ”yhteen liimattavat” pisteet määritellään ekvivalenssirelaatiolla. Tavallisimmin tämä tehdään uuden topologisen avaruuden konstruoimiseksi jonkin ennestään tunnetun avulla. Tekijätopologia käsittää ne joukot, joiden alkukuva siinä kanonisessa projektiossa, jolla jokainen lähtöavaruuden alkio kuvataan sitä vastaavalle ekvivalenssiluokalle, on avoin joukko.
Olkoon topologinen avaruus, ja olkoon ~ jokin ekvivalenssirelaatio avaruudessa . Tekijäavaruus on :n alkioiden ekvivalenssiluokkien joukko:
varustettuna topologialla, jossa avoimia joukkoja ovat ne ekvivalenssiluokkien joukot, joiden yhdisteet ovat avoimia joukkoja X:ssä:
Yhtäpitävästi voidaan määritellä avoimiksi ne joukot, joiden alkukuva surjektiivisessa kuvauksessa , joka liittää jokaiseen X:n pisteeseen sitä vastaavan ekvivalenssiluokan, on avoin:
Tekijäavaruuden avoimien joukkojen muodostama tekijätopologia on siis projektion koindusoima topologia avaruudessa X/~.[2]
Tekijäavaruuteen liittyy läheisesti myös samastuskuvauksen eli tekijäkuvauksen käsite. Sanotaan, että kuvaus on samastuskuvaus, jos se on surjektio ja jos Yn osajoukoista U ovat avoimia ne ja vain ne, joiden alkukuva on avoin. Yhtäpitävästi voidaan määritellä, että on samastuskuvaus, jos se on surjektio ja jos se koindusoi maaliavaruuteen Y sen alkuperäisen topologian.[3]
Jos on ekvivalenssirelaatio joukossa , kanoninen kuvaus on samastuskuvaus.
Tämän ekvivalenssirelaation määrittämän tekijäavaruuden muodostamista sanotaan pisteiden x ja y ”liimaamiseksi” yhteen. Yleensäkin tekijäavaruuden muodostamista voidaan havainnollistaa kuvittelemalla, että samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvat pisteet ikään kuin ”liimataan” kiinni toisiinsa. Kuten jäljempänä mainitut esimerkit osoittavat, tämä voidaan monessa, joskaan ei kaikissa tapauksissa tehdä aivan konkreettisestikin.
Huomattakoon kuitenkin, että merkintä voi tarkoittaa kahta eri asiaa. Jos käsitetään edellä selitetyllä tavalla :n kuvausten muodostamaksi ryhmäksi, saadaan edellä kerrotulla tavalla ympyrä. Jos kuitenkin käsitetään :n aliavaruudeksi, tekijäavaruudeksi saadaan numeroituvasti ääretön joukko silmukoita, jotka kohtaavat toisensa yhdessä pisteessä; kukin silmukka vastaa yhtä avointa väliä , missä n on kokonaisluku.
Jokainen kompakti metristyvä avaruus voidaan esittää Cantorin joukon tekijäavaruutena.[1]
Jokainen kompakti yhtenäinen n-monisto, kun n>0, voidaan esittää minkä tahansa muun kompaktin yhtenäisen n-moniston tekijäavaruutena, ja kuvaus tekijäavaruudesta f:X/~->Y on jatkuva, jos ja vain jos f0q:X->Y on jatkuva.[1]
Topologisen avaruuden X surjektio q toiselle topologiselle avaruudelle Y on samaistuskuvaus, jos sillä on seuraava ominaisuus: jos Z on mikä tahansa topologinen avaruus ja mikä tahansa kuvaus, f on jatkuva, jos ja vain jos yhdistetty kuvaus f ° q on jatkuva.
Tekijäavaruutta X/~ yhdessä samastuskuvauksen q : X -> X/~ kanssa luonnehtii seuraava universaaliominaisuus: Jos g : X -> Z on sellainen jatkuva kuvaus, että kaikilla samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvilla Xn alkioilla on sama kuvapiste Z:ssä, on olemassa yksi ja vain yksi sellainen jatkuva kuvaus f : X/~ -> Z, että g = f ° q. Sanotaan, että g laskeutuu tekijäavaruuteen.
Tekijäavaruuden X/~ jatkuvia kuvauksia ovat siis ne ja vain ne kuvaukset, jotka saadaan X:ssä määritellyistä jatkuvista kuvauksista ja jotka ovat yhteensopivia ekvivalenssirelaation kanssa (siinä mielessä, että ekvivalenteilla alkioilla on sama kuva). Tutkittaessa tekijäavaruuksia tätä kriteeriä käytetään paljon.
Usein on selvitettävä, onko jokin surjektio q : X -> Y samaistuskuvaus. Jos q on avoin tai suljettu kuvaus, se on samaistuskuvaus.[3] Nämä ovat kuitenkin vain riittäviä, mutta eivät välttämättömiä ehtoja. On helppo muodostaa esimerkkejä samaistuskuvauksista, jotka eivät ole avoimia eivätkä suljettuja. Topologisten ryhmien tapauksessa samaistuskuvaukset ovat avoimia.
Erotteluaksioomien suhteen tekijäavaruudet käyttäytyvät usein yllättävällä tavalla. Vaikka topologinen avaruus X toteuttaa yhden tai useamman erotteluaksiooman, tekijäavaruus X/~ ei niitä välttämättä noudata. Toisaalta tekijäavaruudella X/~ voi olla erotteluominaisuuksia, joita alkuperäisellä avaruudella X ei ole. Seuraavat tulokset ovat kuitenkin voimassa:
Jos avaruus on yhtenäinen tai polkuyhtenäinen, samoin ovat sen kaikki tekijäavaruudet.
Yhdesti yhtenäisen tai kutistuvan avaruuden tekijäavaruus ei välttämättä ole yhdesti yhtenäinen eikä kutistuva.
Kompaktin avaruuden kaikki tekijäavaruudet ovat kompakteja. Sen sijaan lokaalisti kompaktin avaruuden tekijäavaruus ei välttämättä ole lokaalisti kompakti.
Tekijäavaruuden topologinen ulottuvuus voi olla suurempi tai pienempi kuin alkuperäisen avaruuden. Avaruuden täyttävät käyrät tarjoavat tästä esimerkkejä.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.