Suunnistuvuus

Suunnistuvuus eli orientoituvuus on matematiikassa useiden topologisten avaruuksien kuten reaalisten vektoriavaruuksien, euklidisten avaruuksien, pintojen ja muiden monistojen ominaisuus, joka tekee mahdollisesti määritellä tällaisessa avaruudessa ristiriidattomasti kiertosuunnat myötäpäivään ja vastapäivään.^[1] Topologinen avaruus on suunnistuva eli orientoituva, jos tällainen määritelmä voidaan asettaa. Siinä tapauksessa on itse asiassa kaksikin vaihtoehtoista tapaa määritellä nämä kiertosuunnat, ja valinta niiden välillä on avaruuden suunnistus eli orientaatio. Reaaliset vektoriavaruudet, euklidiset avaruudet ja pallot ovat suunnistuvia. Avaruus on suunnistumaton (orientoitumaton), jos siinä jokainen geometrinen muoto voidaan muuntaa peilikuvakseen siirtämällä se jotakin sopivasti valittua silmukkaa pitkin täyden kierroksen verran; esimerkiksi kuvio muuntuu tällöin kuvioksi . Esimerkiksi Möbiuksen nauha on suunnistumaton pinta.

Torus on orientoituva pinta

Möbiuksen nauha on ei-orientoituva pinta. Kun kuvan rapu tekee täyden kierroksen pinnan ympäri, sen oikea ja vasen puoli ovat vaihtuneet. Näin ei tapahtuisi, jos se liikkuisi toruspinnalla.

Steinerin roomalainen pinta on ei-orientoituva.

Suunnistuvuuden määritelmälle voidaan esittää useita yhtäpitäviä muotoilua sovelluksesta ja yleisyystasosta riippuen. Yleisiin topologisiin avaruuksiin sovellettavat määritelmät muotoillaan usein homologiateorian käsittein, kun taas differentioituvien monistojen rakenne tekee mahdolliseksi määritellä käsite differentiaalisten muotojen avulla. Muuan avaruuden suunnistuvuuden käsitteen yleistys on avaruusperheen suunnistuvuus, joka parametroidaan toisen avaruuden (säiekimpun) avulla, jolloin orientaatio on valittava jokaiselle avaruudelle, joka muuntuu jatkuvasti parametriarvojen muutosten suhteen.

Suunnistuvat pinnat

Tässä animaatiossa on muodostettu yksinkertainen analogia hammaspyörän avulla, joka pyörii oikean käden säännön mukaisesti pinnan normaalivektorin suhteen. Aluetta rajoittavien käyrien orientaation määrittää suunta, johon niillä olevat täplät liikkuvat hammaspyörän pyöriessä. Suunnistumattomalla pinnalla kuten Möbiuksen nauhalla reunojen pitäisi liikkua samanaikaisesti molempiin suuntiin, mikä ei ole mahdollista.

Euklidisessa avaruudessa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ oleva pinta S on suunnistuva, jos kaksiulotteista kuviota (esimerkiksi ) ei voida siirtää pintaa pitkin ja takaisin alkuperäiselle paikalleen siten, että se kierroksen jälkeen näyttää alkuperäisen peilikuvalta (). Muussa tapauksessa pinta on suunnistumaton. Yleisempi abstrakti pinta eli kaksiulotteinen monisto on suunnistumaton, jos pinnalla voidaan jatkuvasti ja ristiriidattomasti määritellä myötäpäiväinen kiertosuunta. Tämä merkitsee, että silmukkaa ei voida jatkuvasti muuntaa silmukaksi, joka kulkee saman reitin päinvastaiseen suuntaan, ilman että se jossakin vaiheessa leikkaa itsensä. Voidaan osoittaa, että pinta on suunnistumaton, jos ja vain jos sillä on aliavaruus, joka on homeomorfinen Möbiuksen nauhan kanssa. Möbiuksen nauha voidaan siis käsittää kaiken suunnistumattomuuden alkulähteeksi.

Suunnistuvalla pinnalla sopimusta siitä, minkä kiertosuunnan sanotaan olevan "myötäpäivään" ja minkä "vastapäivään", sanotaan suunnistukseksi, ja kun valinta on tehty, pintaa sanotaan suunnistetuksi eli orientoiduksi. Euklidiseen avaruuteen upotettu pinta on suunnistuva, jos sille on määriteltävissä pinnan pisteestä P toiseen jatkuvasti muuntuva pinnan normaalin suuntainen yksikkövektori ${\displaystyle \cap {N}(P)}$.^[2] Tällöin sitä puolta pintaa, jolla ${\displaystyle \cap {N}(P)}$ osoittaa ulospäin, sanotaan pinnan positiiviseksi, toista puolta negatiiviseksi puoleksi.^[2]Jos tällainen yksikkövektorifunktio on olemassa, on aina kaksi vaihtoehtoista tapaa valita se. Kolmiulotteisessa avaruudessa olevien pintojen tapauksessa tämä vastaa sitä, että pintaa voidaan katsoa joko toiselta tai toiselta puolelta, jolloin kiertosuunnat "myötäpäivään" ja "vastapäivään" määräytyvät sen mukaan.

Suunnistuva pinta on siis pinta, jolle voidaan määritellä kaksi vaihtoehtoista suunnistusta. Kun jompikumpi niistä on valittu, pinta on suunnistettu. Käytännössä näiden käsitteiden välillä ei kuitenkaan aina tehdä selvää eroa.

Esimerkkejä

Useimmat fyysisessä maailmassa tapaamamme pinnat ovat suunnistuvia. Sellaisia ovat esimerkiksi pallopinnat, tasot ja toruspinnat. Sen sijaan Möbiuksen nauha, reaalinen projektiivinen taso ja Kleinin pullo ovat suunnistumattomia.

Yksi- ja kaksipuoliset pinnat

Kolmiulotteisen avaruuden suunnistumattomat pinnat ovat samalla yksipuolisia pintoja, sillä ne eivät jaa avaruutta tai mitään sellaista avaruuden osaa, johon ne kokonaan sisältyvät, kahteen osaan, esimerkiksi pinnan ylä- ja alapuolella taikka sisä- ja ulkopuolella olevaksi alueeksi. Suunnistuvat pinnat kuten pallonpinta ovat sen sijaan kaksipuolisia. Reaalista projektiivista tasoa ja Kleinin pulloa ei kuitenkaan voida sellaisenaan toteuttaa kolmiulotteisessa avaruudessa ${\displaystyle \mathbb {r} ^{3}}$. Sen sijaan on kyllä mahdollista rakentaa Kleinin pulloa esittävä mallikappale, joka eroaa oikeasta Kleinin pullosta siten, että se leikkaa itsensä jotakin käyrää myöten.^[3]

On kuitenkin huomattava, että lokaalisti jokaisella kolmiulotteiseen avaruuteen upotetulla pinnalla on kaksi puolta. Niinpä jos kuvitellaan jonkin otuksen, esimerkiksi muurahaisen ryömivän jossakin kohdassa Möbiuksen pinnalla, tämän otuksen kannalta pinnalla on siinä kohdassa toinenkin puoli. Yksipuolisuus merkitsee sitä, että tämä otus voi päästä samaan kohtaan "toiselle puolelle" kulkematta pinnan läpi tai sen reunan yli, pelkästään ryömimällä sitä pitkin tarpeeksi pitkälle.

Yleisimmässä tapauksessa pinnan suunnistuvuus ei kuitenkaan ole sama asia kuin kaksipuolisuus. Suunnistuvuus on nimittäin pinnan sisäinen, intrinsinen eli pinnan itsensä ominaisuus, kun taas yksi- tai kaksipuolisuus riippuvat myös siitä laajemmasta avaruudesta, johon pinta on upotettu. Pinnan suunnistuvuus ja kaksipuolisuus ovat kuitenkin yhtäpitäviä ominaisuuksia silloin, kun tämä laajempi avaruus itse on suunnistuva, jollainen esimerkiksi ${\displaystyle \mathbb {r} ^{3}}$ on. Sen sijaan esimerkiksi avaruuteen

${\displaystyle K^{2}\times S^{1}}$,

missä ${\displaystyle K^{2}}$ on Kleinin pullo, upotettu torus voi olla yksipuolinen ja samaan avaruuteen upotettu Kleinin pullo kaksipuolinen.

Suunnistus triangulaation avulla

Jokaisella pinnalla on triangulaatio eli se voidaan jakaa kolmioksi siten, että jokaisen kolmion kukin sivu on samalla enintään yhden toisen kolmion sivu. Jokainen kolmio voidaan suunnistaa valitsemalla kiertosuunta kolmion reunaa pitkin, jolloin samalla kolmion jokaiselle sivulle tulee valituksi suunta. Jos tämä tehdään niin, että toisiinsa rajoittuvilla kolmiolla yhteisen sivun suunnat eri kolmiossa ovat vastakkaiset, tulee samalla määritellyksi suunnistus koko pinnalle. Tämä on kuitenkin mahdollista vain, jos pinta on suunnistuva, ja siinä tapauksessa on tasan kaksi mahdollista suunnistusta.

Jos kuvio voidaan asettaa pinnalle mihin tahansa kohtaan eikä sitä voida jatkuvasti siirtää niin, että se muuttuisi peilikuvakseen, tämä määrittää orientaation edellä sanotussa mielessä triangulaation jokaiselle kolmiolle vallitsemalla jokaisen kolmion kiertosuunta siten, että se vastaa värien järjestystä punainen-vihreä-sininen, kun kuvio on sijoitettu kolmion sisään.

Tämä menettely voidaan yleistää jokaiselle n-monistolle, jolla on triangulaatio. Kaikilla 4-monistoilla ei kuitenkaan ole triangulaatiota, ja joillakin n-monistoilla, kun n>4, on triangulaatioita, jotka eivät tässä mielessä johda samaan tulokseen.

Suunnistuvuus ja homologia

Käytetään pinnan S ensimmäiselle homologiaryhmälle merkintää H₁(S). Pinta S on suunnistuva, jos ja vain jos ryhmällä H₁(S) on triviaali torsioaliryhmä. Täsmällisemmin sanottuna jos S on suunnistuva, niin H₁(S) on vapaa Abelin ryhmä, ja jos se ei sellainen ole, niin H₁(S) = F + Z/2Z, missä F on vapaa Abelin ryhmä ja tekijäryhmän Z/2Z generoi S:ssä olevan Möbiuksen nauhan keskiviiva.

Monistojen suunnistuvuus

Olkoon M yhtenäinen topologinen n-monisto. On useita mahdollista määritellä, mitä tarkoittaa, että M on suunnistuva. Osa määritelmistä edellyttää, että M:llä on muitakin struktuureja, esimerkiksi, että sen on oltava differentioituva. Joissakin määritelmissä n=0 on käsiteltävä erikoistapauksena. Määritelmät on kuitenkin muotoiltu keskenään yhtäpitäviksi siinä mielessä, että jos useampi kuin yksi niistä on sovellettavissa avaruuteen M, on M suunnistuva yhden määritelmän mukaan, jos ja vain jos se on suunnistuva muidenkin määritelmien mukaan.^[4][5]

Differentioituvien monistojen orientoituvuus

Intuitiivisimmat määritelmät edellyttävät, että moniston M on oltava differentioituva. Tämä merkitsee, että transitiofunktiot M:n atlaksessa ovat C¹-funktioita. Sellaisilla funktiolla on Jacobin determinantti. Jos Jakobin determinantti on positiivinen, transitiofunktiota sanotaan suunnistuksen säilyttäväksi. Suunnistuva atlas monistossa M on sellainen atlas eli joukko jatkuvia injektiivisiä kuvauksia M:n eri alueilta ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:een, jossa kaikki transitiofunktiot ovat suunnistuksen säilyttäviä. Monisto M on suunnistuva, jos sillä on suunnistuva atlas. Kun n > 0, niin M:n suunnistus on maksimaalinen suunnistuva atlas. Kun n=0, on M:n suunnistus funktio M → {±1}.

Vaihtoehtoisesti suunnistukset voidaan määritellä differentioituvalle monistolle tilavuusmuotojen avulla. Tilavuusmuoto on ${\displaystyle \Lambda ^{n}T^{*}M}$:n leikkaus ${\displaystyle \omega }$, joka ei missään saa arvoa nolla, M:n kotangenttikimpun yläpuolinen ulkoinen potenssi. Esimerkiksi ${\displaystyle R^{n}}$:lla on standardi tilavuusmuoto, jonka antaa ${\displaystyle dx^{1},\Lambda ...\Lambda dx^{n}}$. Kun monistossa M on annettu tilavuus, kaikkien sellaisten kuvausten ${\displaystyle U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ joukko, joilla standardi tilavuus palautuu ω:n positiiviseen monikertaan, on orientoitu atlas. Näin ollen tilavuusmuoto on olemassa, jos ja vain jos monisto on suunnistuva.

Tilavuusmuodot ja tangenttivektorit voidaan yhdistää niin, että saadaan vielä yksi vaihtoehtoinen luonnehdinta suunnistuvuudelle. Jos ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ A on pisteeseen p liittyvien moniston tangenttivektorien kanta, kantaa sanotaan oikeakätiseksi, jos ${\displaystyle \omega (X_{1},..,X_{n})>0}$. Transitiofunktio on suunnistuksen säilyttävä, jos ja vain jos oikeakätiset kannat kuvautuvat oikeakätisille kannoille. Kuten edellä, tästä seuraa, että M on suunnistuva. Kääntäen jos M on suunnistava paikalliset tilavuusmuodot voidaan yhdistää koko M:n käsittäväksi tilavuusmuodoksi, jolloin suunnistuvuus on välttämätön ehto sille, että tämä globaalilla tilavuusmuodolla ei ole nollakohtaa.

Monistojen homologia ja suunnistuvuus yleisessä tapauksessa

Kaikki edellä esitetyt differentioituvan moniston suunnistuvuuden määritelmät perustuvat keskeisesti suunnistuksen säilyttävän transitiofunktion käsitteeseen. Tämä herättää kysymyksen siitä, mikä tarkkaan ottaen säilyy näissä transitiofunktiossa. Ei voida sanoa, että niissä säilyy moniston suunnistuvuus, sillä moniston suunnistus on atlas, eikä ole mielekästä sanoa, että transitiofunktiossa säilyy tai ei säily sellainen atlas, jonka jäsen se itse on.

Kysymys voidaan ratkaista määrittelemällä lokaalit suunnistukset. Yksiulotteisella monistolla paikallinen suunnistus pisteen p: ympärillä vastaa sen valitsemista, kumpi puoli pisteen kahtia jakamasta monistosta katsotaan "oikeaksi" ja kumpi "vasemmaksi" puoleksi. Kaksiulotteisella monistolla tämä vastaa sen valitsemista, kumpi kiertosuunta pisteen ympäri katsotaan "myötäpäiväiseksi" ja kumpi "vastapäiväiseksi". Molemmille tilanteille on yhteistä se, että ne voidaan kuvata pisteen p ympäristön, mutta ei itse pisteen p avulla. Yleisessä tapauksessa olkoon M topologinen n-monisto. Lokaali suunnistus monistossa M pisteen p ympärillä merkitsee ryhmän

${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right).}$

jonkin virittäjän valintaa.

Tämän ryhmän geometrinen merkitys selviää seuraavasti. Valitaan atlakseen kuuluva kuvaus, joka on määritelty jossakin pisteen p ympäristössä. Jokin pisteen p ympäristö kuvautuu origokeskiselle yksikköpallolle B. Poistolauseen mukaan ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$ on isomorfinen ${\displaystyle H_{n}\left(B,B\setminus \{O\};\mathbf {Z} \right)}$:n kanssa. Pallo B on kutistuva, joten sen homologiaryhmät häviävät muilla asteluvuilla paitsi 0 ja n-1. Osoittautuu, että tämä homologiaryhmä on isomorfinen ${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right)\cong \mathbf {Z} }$:n kanssa. Virittäjän valinta vastaa siis sen päättämistä, onko p:tä ympäröivä pallopinta annetussa kuvauksessa positiivinen vai negatiivinen. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:n peilaus origon suhteen merkitsee ${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right)}$:n etumerkin vaihtamista, ja näin ollen virittäjän valinnan geometrinen merkitys on siinä, että se erottaa atlakseen kuuluvat kuvaukset niistä, jotka saadaan peilaamalla ne.

Topologisella monistolla transitiofunktio on suunnistuksen säilyttävä, jos se määrittää ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$:n virittäjät jokaisessa pisteessä p. Tässä kysymykseen tulevat määritelmät ovat samat kuin differentioituvassa tapauksessa. Suunnistuva atlas on atlas, jonka kaikki transitiofunktiot ovat suunnistuksen säilyttäviä. Monisto M on suunnistuva, jos sillä on suunnistuksen säilyttävä atlas, ja kun n &gt 0, suunnistus on maksimaalinen suunnistuva atlas.

Intuitiivisesti M:n suunnistuksen pitäisi määrittää M:ään yksikäsitteinen lokaali suunnistus jokaiseen pisteeseen. Tämä saadaan aikaan nimenomaan toteamalla, että pistettä p ympäröivän suunnistuvan atlaksen jokaista kuvausta voidaan käyttää määrittämään pallopinta p:n ympärillä, ja tämä pallopinta määrittää ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$:n virittäjän. Jokainen muu p:n ympäristössä määritelty atlakseen kuuluva kuvaus saadaan yhdistettynä kuvauksena tästä ja jostakin suunnistuksen säilyttävästä kuvauksesta, ja tästä seuraa, että nämä kaksi kuvausta antavat tuloksena saman virittäjän, joka näin ollen on yksikäsitteinen.

Myös puhtaasti homologiset määritelmät ovat mahdollisia. Mikäli M on suljettu ja yhtenäinen, se on suunnistuva, jos ja vain jos sen n:s homologiaryhmä ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} )}$ on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ kanssa. M:n suunnistus merkitsee tällöin tämän ryhmän virittäjän valintaa. Virittäjä määrittää suunnistetun atlaksen kiinnittämällä äärettömän syklisen ryhmän ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} )}$ virittäjän ja määrittelemällä suunnistuviksi kuvauksiksi ne, joissa ${\displaystyle \alpha }$ johtaa tähän virittäjään. Kääntäen suunnistuva atlas määrittelee sellaisen virittäjän, sillä yhteensopivat lokaalit suunnistukset voidaan yhdistää niin, että saadaan virittäjä homologiaryhmälle ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} )}$.^[6]

Reunalliset monistot

Jos M on reunallinen monisto, sen suunnistukseksi määritellään sen sisäosan suunnistus. Sellainen suunnistus indusoi suunnistuksen myös M:n reunalle ∂M. Oletetaan, että M on suunnistettu. Olkoon ${\displaystyle U\rightarrow {\mathbb {R} ^{n}}_{+}}$ kuvaus, joka on määritelty jossakin M:n reunapisteessä ja jonka rajoittuma M:n sisäosaan kuuluu valittuun suunnistettuun atlakseen. Tämän kuvauksen rajoittuma reunaan ∂M on kuvaus tämän reunan joltakin osalta ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:ään. Tällaiset kuvaukset muodostavat ∂M:n suunnistuvan atlaksen.

Kun M on sileä, jokaisessa reunan ∂M pisteessä p M:n tangenttikimpun rajoittuma ∂M:ään on isomorfinen T_p∂M ⊕ ${\displaystyle \mathbb {R} }$:n kanssa, missä ${\displaystyle \mathbb {R} }$:stä saadun tekijän antaa sisäänpäin osoittava normaalivektori. T_p∂M:n suunnistuksen määrittää se ehto, että T_p∂M on positiivisesti suunnattu, jos ja vain jos se yhdistettynä sisäänpäin osoittavan normaalivektorin kanssa määrittää positiivisesti suunnatun kannan T_pM:lle.

Suunnistuva kaksoispeite

Möbiuksen nauhan suunnistuvaa kaksoispeitettä esittävä animaatio.

Eräs suunnistuvuuteen läheisesti liittyvä käsite perustuu peitekuvauksen ideaan. Olkoon M yhtenäinen monisto ja olkoon M^∗ parien (x,  o) joukko, missä x on M:n piste ja o suunnistus pisteessä x. Oletetaan lisäksi, että joko M on sileä, jolloin voidaan valita tangenttiavaruuden suunnistus, tai käytetään suunnistuksen määrittelemiseksi singulaarista homologiaa. Tällöin jokaiseen avoimeen, suunnistettuun M:n osajoukkoon liittyy vastaava pari, ja määritellään se avoimeksi joukoksi avaruudessa M^∗. Näin joukolle M^∗ saadaan topologia, ja projektio, jossa jokaista tämän joukon piste (x, o) kuvautuu pisteelle x, on peitekuvaus, jossa jokaista maalijoukon pistettä vastaa kaksi lähtöjoukon pistettä. Tätä peiteavaruutta M^∗ sanotaan suunnistuvaksi kaksoispeitteeksi, ja se on suunnistuva. M^∗ on yhtenäinen, jos ja vain jos M ei ole suunnistuva.

Toinen tapa konstruoida tämä peite on jakaa kutakin pistettä ympäröivät silmukat suunnistuksen säilyttäviin ja suunnistuksen kääntäviin. Suunnistuksen säilyttävät silmukat virittävät perusryhmän aliryhmän, joka on joko koko perusryhmä tai sen indeksi on 2. Jälkimmäinen tapaus merkitsee, että on olemassa suunnistuksen säilyttäviä polkuja, ja silloin tämä aliryhmä vastaa yhtenäistä kaksoispeitettä. Konstruktionsa perusteella tämä peite on suunnistuva. Sen sijaan edellisessä tapauksessa saadaan kaksi alkuperäisen joukon M kaltaista joukkoa, joilla on eri suunnistus.

Vektorikimpun suunnistuvuus

Reaalista vektorikimppua, jonka struktuuriryhmä alun perin on GL(n), sanotaan suunnistuvaksi, jos tämä rakenneryhmä voidaan redusoida ryhmäksi ${\displaystyle GL^{+}(n)}$ eli niiden matriisien ryhmäksi, joiden determinantti on positiivinen. Tangenttikimpun tapauksessa tämä redusointi on aina mahdollista, jos perustana oleva monisto on suunnistuva, ja itse asiassa tämä tarjoaa käyttökelpoisen tavan määritellä sileän reaalisen moniston suunnistuvuus: sileä monisto määritellään suunnistuvaksi, jos sen tangenttikimppu vektorikimppuna on suunnistuva. On kuitenkin huomattava, että monistona tangenttikimppu on aina suunnistuva, vaikka se olisi muodostettu suunnistumattomallekin monistolle.

Samantapaisia käsitteitä

Lorentzin geometria

Lorentzin geometriassa on kahdenlaista suunnistuvuutta: avaruus­suunnistuvuus ja aika­suunnistuvuus. Näillä on merkitystä aika-avaruuden kausaali­rakenteen kannalta.^[7] Yleisen suhteellisuus­teorian yhteydessä aika-avaruuden monisto on avaruussuunnistuva, jos siinä ei voi esiintyä sellaista ilmiötä, että kaksi havaitsijaa, jotka lähtevät samasta aika-avaruuden kohdasta eri suuntiin, myöhemmin jälleen toisensa kohdatessaan toteavat toisensa muuttuneen peilikuvansa kaltaiseksi (esimerkiksi oikeakätisen henkilön vasenkätiseksi tai päinvastoin ilman, että tämä itse kokee niin muuttuneensa). Aika-avaruus on aikasuunnistuva, jos kahden havaitsijan näkö­kulmata ajan suunta on aina sama kummassakin kohtaus­pisteessä. Toisin sanoen se on aika­suunnistuva, jos ja vain jos siinä voidaan aina yksi­käsitteisesti määritellä, kumpi kahden havaitsijan kahdesta kohtaamisesta on ajallisesti varhaisempi.^[8]

Käännös suomeksi

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Orientability

Lähteet

1. Marshall evans: Modern multidimensional calculus, s. 263. Addison-Wesley Pub. Co., 1963. Teoksen verkkoversio. (englanti)
2. Jukka Maalampi: ”Luento 10”, Vektorianalyysi, s. 65. Jyväskylän yliopisto, 2014. Teoksen verkkoversio.
3. David Bergamini: ”Yksipuolisten pintojen mutkikas maailma”, Lukujen maailma, s. 182–183. Suomentanut Pertti Jotuni. Sanoma Osakeyhtiö, 1972.
4. Michael Spivak: Calculus on Manifolds. HarperCollins, 1965. ISBN 978-0-8053-9021-6
5. Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2001. ISBN 978-0521795401
6. Allen Hatcher: ”Lause 3.26(a)”, Algebraic Topology, s. 236. Cambridge University Press, 2001. ISBN 978-0521795401
7. Stephen Hawking, George Francis Rayner Ellis: The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge University Press, 1973. Virhe: Virheellinen ISBN-tunniste
8. Mark J. Hadley: The Orientability of Spacetime. Classical and Quantum Gravity, 2002, nro 19, s. 4565-4571. doi:https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0264-9381/19/17/308 Artikkelin verkkoversio.

Aiheesta muualla

• Orientation of manifolds Manifold Atlas.
• Orientation covering Manifold Atlas.
• Orientation of manifolds in generalized cohomology theories Manifold Atlas.
• Orientation The Encyclopedia of Mathematics. Arkistoitu 3.11.2013. Viitattu 18.1.2022.