From Wikipedia, the free encyclopedia
Potenssifunktio on muuttujan matemaattinen funktio, joka voidaan esittää yleistettynä
missä on potenssi ja sen eksponentti. Eksponentin arvoa kutsutaan myös potenssin asteeksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä
Potenssifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli sievennysongelmien välttämiseksi. Määrittelyjoukko määritetään siten aina tapauskohtaisesti.
Erään potenssifunktion määritelmän mukaan se on tulo äärellisestä lukumäärästä ( kpl) vakioita ja muuttujaa :
Tämän määritelmän mukaan potenssifunktio, jonka eksponenttina on luonnollinen luku, kuuluu alkeisfunktioihin, sillä se on muodostettu äärellisestä määrästä muuttujia ja vakioita niiden välisillä kertolaskuilla (alkeisoperaatio), ja se on samalla yleisen potenssifunktion erikoistapaus, joka merkitään usein
Tällainen potenssifunktio on samalla myös polynomifunktio, jossa on yksi termi. Useiden eriasteisten potenssien summa muodostaa monitermisen polynomifunktion. Eriasteisten potenssien sarjoja käytetään monissa potenssisarjoissa.
Potenssifunktioita käytetään matemaattisessa mallinnuksessa talouden, tieteen ja tekniikan aloilla. Niillä on polynomifunktioiden oheella merkittävä rooli matematiikan kouluopetuksessa eri maissa.
Edelliset potenssifunktiot voidaan tulkita verrannollisuuden mukaan. Esimerkiksi, kun n = 2, voidaan sanoa, että funktion arvot ovat suoraan verrannolliset muuttujan toiseen potenssiin eli .
![]() |
![]() |
Eksponenttina voi olla myös negatiivinen kokonaisluku. Koska potenssilaskennassa on määritetty
saadaan myös potenssifunktiolle vastaavasti
Potenssifunktion määrittelyjoukossa on huomioitava nimittäjän rajoitus . Potenssifunktiolla, jonka asteluku on negatiivinen, on sen vuoksi määrittelyjoukko .
Kun n = 1, saadaan niin sanottu käänteislukufunktio (tässä: )
Tällöin funktion arvot ovat muuttujan arvoon nähden kääntäen verrannolliset.
![]() |
![]() |
Jos eksponenttina on rationaaliluku, saadaan
Jos eksponentti on luonnollisen luvun käänteisluku, joka on muotoa
niin potenssifunktio tulkitaan juurifunktioksi:
Juurifunktion määrittelyjoukko riippuu juuren asteluvusta. Jos juuren aste on parillinen, rajoitetaan muuttuja ei-negatiiviseksi eli . Jos aste on pariton, kuuluvat kaikki luvut määrittelyjoukkoon eli .
![]() |
![]() |
Juurifunktion astelukua voidaan nostaa korottamalla se vielä kokonaislukupotensiin m:
![]() |
![]() |
![]() |
Kun eksponenttina on reaaliluku, määritellään yleisesti
Kun eksponentina on rationaaluku, lasketaan potenssifunktion arvo edellä kuvatulla tavalla. Niitä reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja, kutsutaan irrationaaliluvuiksi. Kun eksponenttina on irrationaalinen luku, lasketaan potenssifunktion arvo raja-arvon avulla. Koska jokaista irrationaalilukua kohden on olemassa rationaalilukujen jono siten, että jono suppenee kohti irrationaalilukua :
Potenssifunktion arvo kohdassa , kun lasketaan silloin
Yleistäen voidaan sanoa, että
Kun potenssifunktioille piirretään kuvaajat xy-koordinaatistoon, merkitään funktion argumentin x arvot x-koordinaateiksi ja funktion arvot y-koordinaateiksi eli . Kahden potenssifunktion kuvaajat kulkevat saman pisteen kautta, kun niiden kuvaajilla on samalla x-koordinaatilla samat funktion arvot. Yhteiset pisteet voidaan määrittää yhtälöllä (s > r):
Joka tapauksessa kohdassa on kaikilla potenssifunktioilla yhteinen piste , sillä
Yhteisiä pisteitä voi siis olla kaksi tai kolme riippuen potenssifunktioiden asteista. Jos eksponenttit ovat molemmat parillisia tai parittomia, saadaan kaksi kohtaa lisää, ja jos toinen on pariton ja toinen parillinen, saadaan vain yksi kohta lisää, missä on yhteinen piste:
Potenssifunktion derivaatta erotusosamäärän raja-arvon avulla. Määritelmän tulokset potenssiosalle voidaan esittää helposti muistettavassa muodossa:
Potenssifunktion tavallinen (Riemann-) integraali on siten
tai
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.