Ordinaali
matematiikan joukko-opin käsite / From Wikipedia, the free encyclopedia
Ordinaali eli ordinaaliluku on joukko-opissa käytetty luonnollisen luvun käsitteen yleistys, jolla kuvataan tapoja sijoittaa johonkin kokoelmaan kuuluvat kohteet peräkkäiseen järjestykseen, yksi toisensa jälkeen. Jokainen äärellinen määrä kohteita voidaan asettaa järjestykseen yksinkertaisesti laskemalla ne: tällöin jokainen kohde saa järjestysluvukseen jonkin kokonaisluvun. Käytännössä ordinaaliluvut voidaan ajatella vaikkapa numerolapuiksi, joiden avulla kohteet voidaan asettaa määrättyyn järjestykseen.
Äärellisten kokoelmien tapauksessa ordinaaliluvut vastaavat täysin luonnollisia lukuja eli positiivisia kokonaislukuja. Sen sijaan äärettömille kokoelmille on olemassa useampiakin "järjestyksen" käsitteitä. Sitä niistä, joka lähinnä voidaan katsoa yleistykseksi äärellisen joukon järjestyksestä "yksi toisensa jälkeen", sanotaan hyvinjärjestykseksi. Hyvinjärjestyksen voidaan ajatella merkitsevän sitä, että kohteet merkitään nimi- tai numerolapuilla "yksi toisensa jälkeen", mutta sallitaan, että jotkin nimilaput tulevat vasta äärettömän monen edeltäjän jälkeen. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukon {0,1,2,...} jälkeen voidaan jonon loppuun lisätä symboli ω, joka on pienin ääretön ordinaali. Näin joukko {0,1,2,...,ω) jatkuu ylös äärettömään. Jotkin ordinaalit ovat jonkin edeltäjänsä välitön seuraaja, seuraajaordinaali', kuten on laita luonnollisten lukujen {1,2,...}, mutta toiset ordinaalit kuten ω eivät ole minkään toisen ordinaalin välittömiä seuraajia, ja sellaisia sanotaan rajaordinaaleiksi.
Ordinaalit on erotettava kardinaaliluvuista, joiden avulla voidaan ilmoittaa, kuinka monta kohdetta jossakin kokoelmassa on. Äärellisten lukujen tapauksessa kardinaali- ja ordinaaliluvut vastaavat kääntäen yksikäsitteisesti toisiaan; esimerkiksi ordinaaliluvusta voidaan siirtyä vastaavaan kardinaalilukuun laskemalla nimilaput. Sitä vastoin kaksi tai useampikin eri ääretöntä ordinaalia voi vastata samaa kardinaalia (katso Hilbertin hotelli). Muiden lukujen tapaan ordinaalejakin voidaan laskea yhteen, kertoa tai korottaa potenssiin, mutta äärettömien ordinaalien tapauksessa yhteen- ja kertolasku eivät ole kommutatiivisia.[1]
Ordinaalit otti käyttöön Georg Cantor vuonna 1883[2][3] käsitelläkseen äärettömiä jonoja ja luokitellakseen johdetut joukot, jotka hän oli vuonna 1872 ottanut käyttöön tutkiessaan trigonometristen sarjojen yksikäsitteisyyttä.[4]