Imaginaariyksikkö

Matematiikassa imaginaariyksikkö mahdollistaa reaalilukujen laajentamisen kompleksilukujen joukkoon. Sen täsmällinen määritelmä riippuu tavasta, jolla laajennus tehdään. Imaginaariyksikköä merkitään ${\displaystyle \scriptstyle i={\sqrt {-1}}}$, missä siis ${\displaystyle \scriptstyle i^{2}=-1}$.^[1] Toisinaan imaginaariyksiköstä käytetään merkintää j ja ι.

Perussyy tähän laajennukseen on, että kaikilla polynomiyhtälöillä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Erityisesti yhtälö ${\displaystyle \scriptstyle x^{2}+1=0}$ on tällainen. Ajattelemalla, että kyseisellä yhtälöllä olisikin ratkaisuna imaginaariyksikkö i ja määrittelemällä i:n laskutoimitukset sopivasti, saadaankin jokaiselle reaalikertoimiselle polynomiyhtälölle f(x)=0 ratkaisu. (Katso algebrallinen sulkeuma ja algebran peruslause).

Imaginaariyksikkö on myös osa Eulerin lausetta funktioteoriassa.

Määritelmä

Määritelmän mukaan i on eräs toisen asteen yhtälön

${\displaystyle x^{2}+1=0\ }$

ratkaisuista, jotka ovat

${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-1}}=\pm i}$.

Reaalilukujen laskusäännöt voidaan laajentaa imaginaarisille ja kompleksisille luvuille ajattelemalla lukua i muuttujana, kertomalla lukuja kuten polynomeja ja ottamalla huomioon, että i²=−1. Korkeammista eksponenteista imaginaariyksikön eksponentti voidaan palauttaa välille 0,...,3 kaavan iⁿ=-i^n-2 avulla.

Imaginaariyksikön käänteisluku on sama kuin sen vastaluku, koska

${\displaystyle {\frac {1}{i}}\;=\;{\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}\;=\;{\frac {i}{i^{2}}}\;=\;{\frac {i}{-1}}\;=\;-i}$.

Lähteet

1. Larson, Ron & Hostetler, Robert & Edwards, Bruce: College Algebra: A Graphing Approach, s. 187. Cengage Learning, 2007. ISBN 9780618851881 (englanniksi)

Kirjallisuutta

• Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. (Shaum's Outline Series) McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). Virhe: Virheellinen ISBN-tunniste
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).
• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 618–653. ("Luku 21, Eulerin aika") Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6