Eckertin projektio

Eckertin projektiot ovat kuusi saksalaisen maantieteilijä Max Eckertin vuonna 1906 laatimaa, maailmankartoissa käytettäviksi tarkoitettua karttaprojektiota. Niissä kaikissa leveyspiirit näkyvät yhdensuuntaisina vaakasuorina janoina, myös pohjois- ja etelänapa, joita vastaavien janojen pituus on puolet päiväntasaajaa vastaavan janan pituudesta. Kartan keskipisteen kautta kulkeva pituuspiiri näkyy pystysuorana janana, jonka pituus on puolet päiväntasaajan pituudesta.

Eckertin I projektion mukainen maailmankartta

Eckertin II projektion mukainen maailmankartta

Eckertin IV projektion mukainen maailmankartta

Eckertin VI projektion mukainen maailmankartta

Eckertin eri projektioista käytetään järjestyslukuja, jotka merkitään tavallisesti roomalaisilla numeroilla. Eckertin I ja II projektioissa pituuspiirit, keskimmäistä lukuun ottamatta, näkyvät kahdesta janasta koostuvina murtoviivoina, jotka tekevät mutkan päiväntasaajan kohdalla. III ja IV projektioissa ne ovat muodoltaan ellipsin kaaria paitsi kartan reunalla olevat puoliympyröitä. V ja VI projektioissa ne ovat sinikäyrän kaaria. I, III ja V projektioissa leveyspiirit ovat tasavälein siten, että eri paikkojen etäisyydet päiväntasaajasta näkyvät oikeassa suhteessa. II, IV ja VI projektiot sen sijaan ovat oikeapintaisia eli niissä eri alueiden pinta-alat näkyvät oikeassa suhteessa. Tämä kuitenkin edellyttää, että leveyspiirit eivät niissä ole tasaväliset, vaan pohjois-eteläsuuntainen mittakaava pienenee napoja kohti mentäessä.

Käyttö

Eckertin projektioista yleisimmin käytössä ovat IV ja VI projektio. IV projektio on tullut suosituksi erityisesti Yhdysvalloissa, joissa muun muassa National Geographic Society on käyttänyt sitä julkaisemissaan maailman­kartoissa. Sitä käytetään myös erilaisissa teemakartoissa, esimerkiksi eri alueiden ilmastoja kuvaavissa. Myös Eckertin VI projektiota on käytetty Yhdys­valloissakin kartastoissa ja koulukirjoissa, mutta aikoinaan se tuli suosituksi erityisesti Neuvosto­liitossa. Myös suomalaisissa koulukartastoissa se on esiintynyt, ja siitä on käytetty nimitystä ”Eckertin oikeapintainen polarongkoidi nro 6”.^[1]

Matemaattiset määritelmät

Merkitään paikkakunnan leveysastetta kreikkalaisella kirjaimella φ ja pituusastetta kirjaimella λ. Tällöin paikkakunta, jonka leveysaste on φ ja pituusaste λ, tulee Eckertin IV projektiossa pisteeseen, jonka karteesiset koordinaatit ovat

${\displaystyle x={\frac {2}{\sqrt {4\pi +\pi ^{2}}}}R(\lambda -\lambda _{0})(1+cos\theta )\approx 0.4222382R(\lambda -\lambda _{0})(1+cos\theta )}$

${\displaystyle y=2{\sqrt {4\pi +pi^{2}}}Rsin\theta \approx 1,3265004Rsin\theta }$

missä λ₀ on kartan keskimeridiaani ja θ on ratkaistava yhtälöstä

${\displaystyle \theta +sin\theta cos\theta +2sin\theta =(2+{\frac {\pi }{2}})sin\phi }$

^[2]

Tästä yhtälöstä ${\displaystyle \theta }$:lle voidaan lasketa likiarvoja esimerkiksi Newtonin menetelmällä.^[2]

Eckertin VI projektiossa sama paikkakunta tulee pisteeseen, jonka karteesiset koordinaatit ovat:

${\displaystyle x={\frac {\lambda -\lambda _{0})(1+cos\theta )}{\sqrt {2+\pi }}}}$

${\displaystyle y={\frac {2\theta }{\sqrt {2+\pi }}}}$

missä ${\displaystyle \theta }$ on ratkaistava yhtälöstä

${\displaystyle \theta +sin\theta =(1+{\frac {\pi }{2}})sin\phi }$^[3]

Lähteet

• John P. Snyder: ”Eckert IV and VI projections”, Map Projections – A Working Manual, s. 253–258. USGS, 1987. ISBN 0-226-76747-7 Teoksen verkkoversio (PDF).

Viitteet

1. esim. Carl Mannerfelt, Gösta Lundqvist, Heikki Väänänen: ”Maailma (useita teemakarttoja ilmastosta ja eri seutujen tuotteista)”, Oppikoulun kartasto, s. 58–61. (Käytetty projektio merkitty useimpien karttojen alalaitaan.) WSOY, 1967.
2. Eckert IV Projection MathWorld. Viitattu 21.11.2015.
3. Eckert VI Projection MathWorld. Viitattu 21.11.2015.

Aiheesta muualla

• Radical Cartography, Wall Maps of the World radicalcartography.net. Viitattu 21.11.2015.