Alkeistapaus

Alkeistapaus ^[1] (engl. elementary event) eli tapaus ^[2] eli ulostulo ^[3][4] (engl. outcome) on todennäköisyyslaskennan peruskäsite, joka tarkoittaa satunnaisilmiön tuottamaa tulosta (joskus ei-numeerinen). Esimerkiksi nopanheitossa tiettyä asentoa kutsutaan alkeistapaukseksi. Nopan asennolla on nimi, joka määräytyy ylimmän tahkon "silmien" lukumäärän mukaan, ja se annetaan nopanheiton tulokseksi. Yleisemmin määriteltynä alkeistapaus tarkoittaa minkä tahansa satunnaisilmiön tulosta, joita syntyy aina vain yksi kerrallaan ja jonka arvo ymmärretään aina vain yhdellä tavalla (yksikäsitteisyys). Satunnaisilmiö tuottaa erilaisia alkeistapauksia, joista muodostuvaa joukkoa kutsutaan perusjoukoksi (merkitään usein isolla kirjaimella ${\displaystyle \Omega }$, joka lausutaan "oomega"). Perusjoukkoa kutsutaan myös nimillä otosjoukko, otosavaruus tai tapahtuma-avaruus. Perusjoukko sisältää siis alkeistapausten kaikki mahdolliset arvot. Alkeistapauksiin viitataan usein pienellä "oomegalla" eli ${\displaystyle \omega }$.^{[1][2][5][6][7][8]}

Todennäköisyyslaskennassa nimitykset vaihtelevat sen mukaan, onko kyseessä tilastollinen, todennäköisyys- vai matemaattinen tarkastelu. Koska satunnaisilmiön matemaattinen suora käsittely voi olla mahdotonta, jää sille käytettäväksi vain tapausten tilastollinen tai todennäköisyyslaskennallinen analysointi. Tämä ajatus muodostaa todennäköisyyslaskennan perustan.

Esimerkkejä tapauksista

Diskreetit alkeistapaukset

Esimerkiksi kolikonheitossa alkeistapauksina voi esiintyä "kruuna" tai "klaava". Vaikka kolikko voi asettua vaikkapa reunallensa, ei tätä asentoa hyväksytä tapaukseksi, vaan kolikon heitto suoritetaan uudelleen. Perusjoukko sisältää siten vain kaksi alkeistapausta eli${\displaystyle \Omega =\{kruuna,klaava\}.}$^[2][5][9]

Esimerkiksi tavallisen kuusisivuisen nopan eli arpakuution heitossa kaikki mahdolliset alkeistapaukset ovat ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\},}$ jos silmäluvut muutetaan ensin luvuiksi. Kortinnostossa korttipakasta, jossa on 52 pelikorttia, jokainen kortti edustaa omaa alkeistapausta. Kortit on merkitty samanaikaisesti kahdella tavalla (maa ja numero), jotka yhdessä muodostavat kortinnostossa alkeistapauksen arvon. Rulettipöydän alkeistapaus taas on tunnus (väri ja numero) siinä lokerossa, johon pallo asettuu.^[2][5][9]

Kahden kolikon heitossa alkeistapauksiksi ei valita kolikoiden tuloksia erikseen vaan ne yhdistetään pariksi. Koska kumpikin kolikko saa kaksi arvoa, on perusjoukossa ${\displaystyle 2\times 2=4}$ alkeistapausta, jotka ovat lueteltuina ${\displaystyle \scriptstyle \{(kr,kr),(kr,kl),(kl,kr),(kl,kl)\}.}$ Kahden nopan alkeistapaukset saadaan vastaavalla tavalla: ${\displaystyle \scriptstyle \{(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,5),(6,6)\}.}$ Alkeistapauksia on tässä tapauksessa yhteensä ${\displaystyle 6\times 6=36}$. Vaihtoehtojen lukumäärä kasvaa esimerkiksi kortinpeluussa, jossa pelaajien kädessä on aina viisi korttia.

Koska tapausten arvot ovat erillisiä arvoja, kuten kokonaislukuja, kutsutaan niitä diskreeteiksi eli erillisiksi. Diskreettien tapausten perusjoukko voi olla kooltaan äärellinen tai numeroituvasti ääretön.^[2]

Jatkuvat alkeistapaukset

Esimerkiksi ihmisen paino on jatkuva-arvoinen muuttuja, sillä se saa äärettömän määrän arvoja mahdollisten pienimmän ja suurimman arvon välillä. Mahdollisia alkeistapauksia on siis ääretön määrä. Käytännössä vastaavissa tilanteissa alkeistapaukset muutetaan kuitenkin usein diskreeteiksi mittaustarkkuuden rajallisuudesta johtuen. Esimerkiksi ihmisen paino ilmoitetaan usein sadan gramman tai yhden kilogramman tarkkuudella sen sijaan, että ilmoitettaisiin se äärettömän tarkasti. Tällöin kyseessä on siis diskreetti alkeiatapausten joukko.^[2]

Muita jatkuvia tapauksia voisivat olla esimerkiksi tikan osumakohta seinällä, malmin pitoisuus kallion tietyssä kohdassa ja ihmisen älykkyysosamäärä. Koska jatkuvat tapaukset voidaan kuvata reaaliluvuilla, on perusjoukon koko ylinumeroituvasti ääretön.^[5]

Tapauksien joukot: Tapahtumat

Pääartikkeli: Tapahtuma

Yksittäisillä alkeistapauksilla saattaa olla mitätön merkitys, jos niitä on paljon tai ääretön määrä. Käytännön elämän ongelmia voidaan tutkia paremmin monien alkeistapausten muodostamilla joukoilla eli luokilla. Tällaisia joukkoja ovat esimerkiksi ikäluokat, painoluokat tai ylioppilasarvosanat. Todennäköisyyslaskennassa tapausten joukkoja on kutsuttu tapahtumiksi (engl. event).^[2][10]

Tapahtumaa, joka sisältää vain yhden tapauksen, kutsutaan alkeistapaukseksi. Jos tapahtuma sisältää kaikki satunnaisilmiön tapaukset, kutsutaan sitä perusjoukoksi. Yksittäinen tapaus voi kuulua useaan eri tapahtumaan. Joukko-opin merkintöjä käyttäen alkeistapaus ${\displaystyle \omega }$ kuuluu tapahtumaan ${\displaystyle A}$ merkitään ${\displaystyle \omega \in A.}$ ^[11]

Äärellisen perusjoukon tapauksessa, joka siis sisältää äärellisen määrän tapauksia, jokainen perusjoukon osajoukko muodostaa tapauksen. Joukko-opissa perusjoukon potenssijoukon jokainen alkio on siten tapahtuma. Tämä periaate toimii, vaikka joukko olisi numeroituvasti ääretön. Lähestystapa ei toimi automaattisesti kaikilla ylinumeroituvien perusjoukkojen kohdalla. Kun satunnaisilmiöstä muodostetaan todennäköisyysavaruus, on usein välttämätöntä karsia osa tapahtumista.

Satunnaismuuttuja

Pääartikkeli: Satunnaismuuttuja

Joskus arvontavälineen tai satunnaisilmiön antama satunnainen tulos halutaan muuttaa numeeriseksi arvoksi. Silloin jokaiselle alkeistapaus liitetään yksikäsitteisellä tavalla lukuarvo käyttämällä funktion kuvausta. Funktion tulos voi olla kokonaisluku tai reaaliluku ja sen arvoalue diskreettis- tai jatkuva-arvoinen tulos. Myös alkeistapauksista muodostettavat tapahtumat voidaan kuvata satunnaismuuttujiksi funktion määrittelyn tai -lausekkeen avulla.^[12]

Todennäköisyys

Alkeistapaukseen liittyvä todennäköisyys

Pääartikkeli: Todennäköisyys

Satunnaisilmiön alkeistapaus voi esiintyä todennäköisyydellä (merkitään usein ${\displaystyle p}$ tai ${\displaystyle P}$), joka on nollan ja ykkösen väliltä (rajat mukaan luettuina) eli ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$. Äärellisessä ja diskreettisessä tilanteessa, jossa perusjoukon koko on äärellinen, perusjoukon kullekin alkeistapaukselle liitetään todennäköisyyden arvo. Diskreetin alkeistapauksen todennäköisyyttä kutsutaan pistetodennäköisyydeksi. Kaikkiin alkeistapauksiin liittyvää todennäköisyystaulukkoa kutsutaan todennäköisyysjakaumaksi.^[2][5][13]

Jatkuvassa tapauksessa kunkin alkeistapauksen todennäköisyys on aina nolla, sillä alkeistapauksia on ylinumeroituva määrä. Todennäköisyyksiä voidaan siinä tapauksessa liittää vain tapahtumille. Todennäköisyyslaskennan mittateoreettisessä todennäköisyysavaruudessa kaikkien tapahtumien todennäköisyyksiä ei tarvitse tuntea. Riittää, kun tietää perusjoukon potenssijoukon ${\displaystyle \sigma }$-algebran (lue "sigma-algebra") muodastavan osajoukon todennäköisyydet siten.^[2]

Symmetrian periaate

Tiettyissä satunnaisilmiöissä voidaan olettaa, että perusjoukon alkeistapaukset esiintyisivät yhtä usein. Tapaukset ovat silloin symmetrisiä ja niihin liitettävät todennäköisyydet ovat keskenään yhtä suuret. Näin menetellään esimerkiksi kolikonheitossa, noppapeleissä ja muiden satunnaisuuteen perustuvien pelien kohdalla. Arpomisvälineet valmistetaan geometrisesti ja fysikaalisesti niin symmetrisiksi, että todennäköisyydet ovat muutaman desimaalin tarkkuudella samat. Näin saadaan diskreettisessä tilanteessa tasainen jakauma. Klassisessa todennäköisyyslaskennassa teorian perustana onkin symmetriset alkeistapaukset.^{[1][2][7][14]}

Katso myös

• Perusjoukko
• Todennäköisyysfunktio
• Todennäköisyysjakauma

Lähteet

1. Etälukio: Todennäköisyyden käsite (Arkistoitu – Internet Archive)
2. Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3, s. 43−60. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
3. Saarnisaari, Harri (Arkistoitu – Internet Archive): Todennäköisyys (Arkistoitu – Internet Archive) (luentomateriaalia), 2003
4. Weisstein, Eric W.: Outcome (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
5. Kivelä, Simo K.: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
6. Jyväskylän yliopisto: VI.2. Äärellinen todennäköisyyskenttä, 2008
7. Koskenoja, Mika: Sattuman matematiikkaa I – klassinen todennäköisyys, matematiikkalehti Solmu, 2002
8. Weisstein, Eric W.: Trial (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
9. Albert, Jim: Listing All Possible Outcomes (The Sample Space) (Arkistoitu – Internet Archive), 1996
10. Weisstein, Eric W.: Event (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
11. Sottinen, Tommi: Todennäköisyysteoria, syksy 2006 (10 op, 5 ov) (Arkistoitu – Internet Archive) (luentomoniste), s. 4−8, Helsingin Yliopisto, 2006
12. Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
13. Kivelä, Simo K.: Diskreetit jakaumat, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
14. Kivelä, Simo K.: Todennäköisyysfunktio P, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000