در نظریه مجموعهها، عدد ترتیبی[1](به انگلیسی:Ordinal Number) تعمیم مفهوم اعداد طبیعی است که برای توصیف راهی برای مرتبسازی گردایه ای از اشیاء به کار میرود. هر گردایه متناهی از اعداد را میتوان صرفاً با فرایند شمردن مرتب کرد، یعنی برچسب زنی اشیاء با اعداد طبیعی متمایز؛ لذا اعداد ترتیبی «برچسب» های مورد نیاز برای مرتب کردن گردایه ای از اشیاء به کار میرود.
یک عدد ترتیبی برای توصیف نوع ترتیب یک مجموعه خوش-ترتیب به کار میرود (گرچه که این تعریف برای کلاسهای محض خوش ترتیب کار نمیکند). یک مجموعه خوش ترتیب مجموعه ای با رابطه> است چنانکه:
(تثلیث) برای هر دو عنصر x و y دقیقاً یکی از این گزارهها درست باشد:
x>y
x=y
y>x
(تعدی) برای هر سه عنصر x, y, z اگر x>y و y>z باشد آنگاه x>z.
(خوش-بنیانی) هر زیر مجموعه ناتهی دارای کوچکترین عنصر است، یعنی عنصری چون x دارد چنانکه هیچ عنصر دیگری چون y در زیر مجموعه وجود ندارد که x>y.
دو مجموعه خوش-ترتیب دارای یک سنخ ترتیبی است اگر و تنها اگر تناظر دو سویه از یک مجموعه به دیگری وجود داشته باشد که رابطه اولین مجموعه را به رابطه مجموعه دوم تبدیل کند.
در حالی که اعداد ترتیبی برای مرتبسازی اشیاء یک گردایه مفید اسند، آنها متمایز از اعداد اصلی (کاردینال) اند. اعداد اصلی برای گزارش تعداد اشیاء یک گردایه به کار میروند. گرچه که تمایز بین اعداد ترتیبی و اصلی در مجموعههای متناهی همیشه مشهود نیست، اعداد ترتیبی نامتناهی مختلفی را میتوان برای توصیف مجموعه ای با یک عدد اصلی به کار برد. اعداد ترتیبی هم مثل انواع دیگر اعداد میتوان جمع، ضرب کرد یا به توان رسانید، گرچه که هیچکدام از این عملیات برای اعداد ترتیبی جابجاپذیر نیستند.
اعداد ترتیبی توسط جورج کانتور در ۱۸۸۳،[2] برای تطبیق با دنبالههای متناهی و همچنین دستهبندی مجموعههای مشتق شده، که قبلاً در ۱۸۷۲ هنگام مطالعه یکتایی دنبالههای مثلثاتی معرفی شده بودند، معرفی گشت.[3]
Hallett, Michael (1979), "Towards a theory of mathematical research programmes. I", The British Journal for the Philosophy of Science, 30 (1): 1–25, doi:10.1093/bjps/30.1.1, MR0532548. See the footnote on p. 12.
Ewald, William B., ed. (1996), From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volume 2, Oxford University Press, ISBN0-19-850536-1.
Ferreirós, José (1995), "'What fermented in me for years': Cantor's discovery of transfinite numbers", Historia Mathematica, 22: 33–42, doi:10.1006/hmat.1995.1003.
Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought (2nd reviseded.), Birkhäuser, ISBN3-7643-8349-6.
Hallett, Michael (1986), Cantorian Set Theory and Limitation of Size, Oxford University Press, ISBN0-19-853283-0.
Hamilton, A. G. (1982), "6. Ordinal and cardinal numbers", Numbers, Sets, and Axioms: the Apparatus of Mathematics, New York: Cambridge University Press, ISBN0-521-24509-5.
Kanamori, Akihiro (2012), "Set Theory from Cantor to Cohen"(PDF), in Gabbay, Dov M.; Kanamori, Akihiro; Woods, John H. (eds.), Sets and Extensions in the Twentieth Century, Cambridge University Press, pp.1–71, ISBN978-0-444-51621-3.
Levy, A. (2002) [1979], Basic Set Theory, Springer-Verlag, ISBN0-486-42079-5.
Sierpiński, W. (1965), Cardinal and Ordinal Numbers (2nded.), Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.
von Neumann, John (1923), "Zur Einführung der transfiniten Zahlen", Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum, 1: 199–208, archived from the original on 18 December 2014, retrieved 12 November 2019