دو مثلث △ABC و △A′B′C′ متشابه هستند اگر و تنها اگر اندازهٔ زوایای متناظر برابر باشد:از این میتوان نتیجه گرفت که ان دو مثلث متشابه هستند اگر و تنها اگر اضلاع متناظر متناسب باشند.[1]
میتوان نشان داد دو مثلث که با زوایای برابر متشابه هستند و میتوان ثابت کرد که اضلاع متناظر نیز در این صورت متناسب هستند. این حالت به عنوان قضیهٔ تشابه ززز شناخته میشود.[2] توجه شود که «ززز» تنها یک یادیار است و هر ز یه یکی از سه «زاویهٔ» مثلث اشاره دارد. با توجه به این قضیه گاهی برای سادهسازی در تعریف مثلث متشابه، انطباق زوایای متناظر دو مثلث را کافی میدانند.[3]
گزارههای زیادی هستند که شرط لازم و کافی برای تشابه دو مثلث را بیان میکنند:
- مثلثهایی که زوایای برابر داشته باشند[4] که در هندسهٔ اقلیدسی بر همنهشت بودن تمام زوایای آن دلالت دارد.[5] به عبارت دیگر:
- اگر اندازهٔ زاویهٔ ∠BAC با ∠B′A′C′ برابر باشد و اندازهٔ زاویهٔ ∠ABC با ∠A′B′C′ برابر باشد؛ آنگاه زاویهٔ ∠ACB با ∠A′C′B′ نیز برابر است و مثلثها متشابه اند.
- AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C′
- اضلاع متناظر متناسب باشند:[6]
- AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C′. به عبارت دیگر این گزاره هم ارز است با گفتن اینکه هر مثلث (یا تصویر قرینهٔ آن) با مثلث دیگر متجانس است.
- نسبت دو ضلع برابر باشد و اندازهٔ زاویهٔ بین دو ضلع برابر باشد.[7] مثلا:
- AB/A′B′ = BC/B′C′ و اندازهٔ ∠ABC با ∠A′B′C′ برابر است.
- این حالت با نام تشابه ضزض شناخته میشود.[8] «ضزض» تنها یک یادیار است و هر ض یه یکی از دو «ضلع» اشاره دارد و حرف ز به «زاویهٔ» بین آن دو ضلع اشاره دارد.
به طور خلاصه حالات تشابه دو مثلث:
- دو زاویه (ز.ز)
- تناسب دو ضلع و زاویه بین (ض.ز.ض)
- تناسب سه ضلع (ض.ض.ض)
هرگاه دو چند ضلعی متشابه باشند:
- زوایای متناظر برابر هستند.
- اضلاع متناظر نیز دارای تناسب مشخصی هستند.
به ازای هر n عضو اعداد طبيعي، تمام n-ضلعیهای منتظم با یکدیگر متشابه اند.
چندین نوع منحنی وجود دارد که تمام نمونههای آنها با یکدیگر متشابه هستند:
"Catenary". Xahlee.org. 2003-05-28. Retrieved 2010-11-17.
- Henderson, David W.; Taimina, Daina (2005), Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.), Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143748-7
- Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W.H. Freeman and Co., ISBN 0-7167-0456-0
- Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry/A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
- Sibley, Thomas Q. (1998), The Geometric Viewpoint/A Survey of Geometries, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87450-1
- Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
- Stahl, Saul (2003), Geometry/From Euclid to Knots, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-032927-1
- Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143700-5
- Yale, Paul B. (1968), Geometry and Symmetry, Holden-Day
- Judith N. Cederberg (1989, 2001) A Course in Modern Geometries, Chapter 3.12 Similarity Transformations, pp. 183–9, Springer شابک ۰−۳۸۷−۹۸۹۷۲−۲.
- H.S.M. Coxeter (1961,9) Introduction to Geometry, §5 Similarity in the Euclidean Plane, pp. 67–76, §7 Isometry and Similarity in Euclidean Space, pp 96–104, John Wiley & Sons.
- Günter Ewald (1971) Geometry: An Introduction, pp 106, 181, Wadsworth Publishing.
- George E. Martin (1982) Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry, Chapter 13 Similarities in the Plane, pp. 136–46, Springer شابک ۰−۳۸۷−۹۰۶۳۶−۳.