تبدیل لاپلاس
یکی از انواع تبدیلات انتگرالی در ریاضیات / From Wikipedia, the free encyclopedia
تبدیل لاپلاس (به انگلیسی: Laplace transform) در ریاضیات یک تبدیل انتگرالی است که بسیار پرکاربرد است. تبدیل لاپلاس با نماد در واقع عملگری خطی از تابع (f (t با آرگومان حقیقی (t (t ≥ ۰ به تابع (F (s با آرگومان مختلط s است. در بسیاری از کاربردهای عملی، این تبدیل به صورت دوسویه عمل میکند. ویژگی مهم این تبدیل آن است که بسیاری از رابطهها و تغییراتی که بر روی تابع اصلی (f (t برقرار هستند، در تبدیل یافتهٔ آن (F (s نیز با رابطهای ساده و منطقی برقراراند. [1]
این تبدیل به افتخار پیر لاپلاس یعنی کسی که آن را در یکی از کارهایش بر روی نظریهٔ احتمالات معرفی کرده بود، تبدیل لاپلاس گذاشته شده است.
تبدیل لاپلاس شبیه به تبدیل یا تبدیل فوریه است با این تفاوت که تبدیل فوریه یک تابع را به حالتهای ارتعاشیاش تجزیه میکند ولی تبدیل لاپلاس آن را به momentهایش تجزیه میکند. تبدیلهای لاپلاس و فوریه هر دو برای حل معادلههای دیفرانسیلی و انتگرالی کاربرد دارند. در فیزیک و مهندسی از این تبدیل برای تحلیل سامانهٔ نامتغیرهای خطی زمان مانند مدارهای الکتریکی، ابزارهای نوری، و سامانههای مکانیکی استفاده میشود. در بیشتر موارد، تبدیل لاپلاس برای تبدیل سامانههایی با ورودی و خروجی وابسته به زمان به سامانهای وابسته به بسامد زاویهای مختلط با یکای رادیان بر واحد زمان است. به عبارت دیگر، اگر سامانهای را در نظر بگیریم که توصیف ریاضی یا تابع ورودی و خروجی آن را داشته باشیم، تبدیل لاپلاس آن به ما کمک میکند تا تابع جایگزینی را پیدا کنیم که تحلیل رفتار این تابع را آسانتر میکند.
روش تبدیل لاپلاس، روش عملیاتی است که میتواند در حل معادلات دیفرانسیل خطی سودمند باشد . به کمک تبدیلهای لاپلاس میتوان بسیاری از توابع متداول نظیر توابع سینوسی، توابع سینوسی میرا، و توابع نمایی را به توابع جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . عملیات جبری در صفحات مختلط میتوانند جای عملیاتی مانند مشتقگیری و انتگرالگیری را بگیرند . از این رو یک معادله دیفرانسیل خطی را میتوان به یک معادله جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . آنگاه جواب معادله دیفرانسیل را میتوان به کمک جدول تبدیل لاپلاس یا روش تجزیه به کسرهای ساده بدست آورد .
یکی از مزایای روش تبدیل لاپلاس در این است که استفاده از روشهای ترسیمی برای پیشبینی عملکرد سیستم را بدون حل واقعی معادلات دیفرانسیل سیستم میسر میسازد . مزیت دیگر آن در این است که با حل معادله دیفرانسیل، میتوان هر دو مؤلفه گذرا و حالت ماندگار جواب را یکجا بدست آورد .