تابع زتای ریمان
From Wikipedia, the free encyclopedia
تابع زتای ریمان یا تابع زتای ریمان-اویلر، ، تابع ریاضیاتی از یک متغیر مختلط چون s است که میتوان آن را به صورت زیر بیان نمود:
تابع زتای ریمان نقش مهمی در نظریه تحلیلی اعداد داشته و کاربردهایی در فیزیک، نظریه احتمالات، و آمار کاربردی دارد.
لئونارد اویلر اولین بار این تابع را در نیمه اول قرن هجدهم، تنها با استفاده از اعداد حقیقی معرفی و مطالعه نمود، چرا که آنالیز مختلط در آن زمان موجود نبود. مقاله ۱۸۵۹ برنهارت ریمان با عنوان «در مورد تعداد اعداد اول کوچکتر از مقداری داده شده»، تعریف اویلر را به یک متغیر مختلط بسط داده و پیوستگی مرومورفیک و معادله تابعی آن را اثبات نموده و رابطه ای بین صفرهایش و توزیع اعداد اول برقرار نمود.[2]
مقادیر تابع زتای ریمان در اعداد صحیح مثبت زوج، توسط اویلر محاسبه شدند. اولین آنها بود که حلی را برای مسئله بازل ارائه میکند. در ۱۹۷۹، راجر آپری گنگ بودن را اثبات نمود. مقادیر نقاط صحیح منفی نیز که توسط اویلر یافت شدند، اعداد گویا بوده و نقش مهمی را در نظریه فرمهای مدولار (پیمانهای) بازی میکنند. تعمیمهای زیادی از تابع زتای ریمانی چون سریهای دیریکله، L-توابع دیریکله و L-توابع نیز شناخته شده میباشند.