فاصِله یک کمیت عددی برای تعیین مقدار دوری یا نزدیکی دو چیز است.
«فاصله» در زمینه‌های مختلفی تعریف می‌شود. به عنوان مثال، فاصلهٔ دو جسم از هم یا فاصلهٔ دو روز از سال.
در هندسهٔ اقلیدسی ، انواع مختلفی از فاصله تعریف می‌شود؛ امّا به طور کلّی منظور از «فاصله» همان فاصلهٔ اقلیدسی است.
به طول کوتاه‌ترین خط بین دو نقطه‌ی
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
فاصلهٔ اقلیدسی
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
[1]
در هندسهٔ تحلیلی فاصلهٔ بین دو نقطه‌ی
A
=
(
A
x
,
A
y
)
{\displaystyle A=(A_{x},A_{y})}
B
=
(
B
x
,
B
y
)
{\displaystyle B=(B_{x},B_{y})}
قضیهٔ فیثاغورث پیدا کرد که به فرمول زیر می‌رسد[2]
A
B
¯
=
Δ
x
2
+
Δ
y
2
=
(
A
x
−
B
x
)
2
+
(
A
y
−
B
y
)
2
{\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}={\sqrt {(A_{x}-B_{x})^{2}+(A_{y}-B_{y})^{2}}}}
این فرمول را می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد؛ یعنی اگر
A
=
(
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
)
{\displaystyle A=(A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})}
B
=
(
B
1
,
B
2
,
…
,
B
n
)
{\displaystyle B=(B_{1},B_{2},\dots ,B_{n})}
A
B
¯
=
∑
i
=
1
n
(
Δ
A
i
)
2
=
(
A
1
−
B
1
)
2
+
(
A
2
−
B
2
)
2
+
⋯
+
(
A
n
−
B
n
)
2
{\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(\Delta A_{i})^{2}}}}={\sqrt {(A_{1}-B_{1})^{2}+(A_{2}-B_{2})^{2}+\dots +(A_{n}-B_{n})^{2}}}}
فاصله میان نقطه (
P
=
(
x
p
,
y
p
{\displaystyle P=(x_{p},y_{p}}
l
{\displaystyle l}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
d
(
P
,
l
)
=
(
x
p
−
x
0
−
λ
q
(
x
1
−
x
0
)
)
2
+
(
y
p
−
y
0
−
λ
q
(
y
1
−
y
0
)
)
2
{\displaystyle d(P,l)={\sqrt {(x_{p}-x_{0}-\lambda _{q}(x_{1}-x_{0}))^{2}+(y_{p}-y_{0}-\lambda _{q}(y_{1}-y_{0}))^{2}}}}
که در آن:
λ
q
=
(
x
1
−
x
0
)
(
x
p
−
x
0
)
+
(
y
1
−
y
0
)
(
y
p
−
y
0
)
(
x
1
−
x
0
)
2
+
(
y
1
−
y
0
)
2
{\displaystyle \lambda _{q}={\frac {(x_{1}-x_{0})(x_{p}-x_{0})+(y_{1}-y_{0})(y_{p}-y_{0})}{(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}}}}
اگر مقدار
λ
q
{\displaystyle \lambda _{q}}
l
{\displaystyle l}
P
{\displaystyle P}
l
{\displaystyle l}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
در منهتن انتخاب بین مسیر‌های زرد و آبی و قرمز فرقی در مسافت طی‌شدهٔ نهایی ایجاد نمی‌کندa b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h
نام این نوع فاصله از منهتن در نیویورک آمریکا الهام گرفته شده؛ به این دلیل که نقشهٔ جادّه‌های آنجا بلوک‌بندی شده. فاصلهٔ منهتنی دو خانه برابر مسافتی ست که یک تاکسی باید طی کند تا به مقصد برسد.
فاصلهٔ منهتنی دو نقطه‌ی
A
=
(
A
x
,
A
y
)
{\displaystyle A=(A_{x},A_{y})}
B
=
(
B
x
,
B
y
)
{\displaystyle B=(B_{x},B_{y})}
d
1
{\displaystyle d_{1}}
d
1
(
A
,
B
)
=
|
Δ
x
|
+
|
Δ
y
|
{\displaystyle \mathrm {d_{1}} (A,B)=\left\vert \Delta x\right\vert +\left\vert \Delta y\right\vert }
این فرمول را نیز می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.
فاصلهٔ چبیشف) این نوع فاصله به این دلیل شطرنجی نامیده شده که در شطرنج برابر تعداد نوبت‌های مورد نیاز شاه
فاصلهٔ شطرنجی دو نقطه‌ی
A
=
(
A
x
,
A
y
)
{\displaystyle A=(A_{x},A_{y})}
B
=
(
B
x
,
B
y
)
{\displaystyle B=(B_{x},B_{y})}
d
1
{\displaystyle d_{1}}
d
∞
(
A
,
B
)
=
max
{
Δ
x
,
Δ
y
}
{\displaystyle \mathrm {d_{\infty }} (A,B)=\max\{\Delta x,\Delta y\}}
این فرمول را نیز می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.
در فضای
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
p
{\displaystyle p}
p-نُرم با نماد
d
p
{\displaystyle \mathrm {d} _{p}}
A
=
(
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
)
{\displaystyle A=(A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})}
B
=
(
B
1
,
B
2
,
…
,
B
n
)
{\displaystyle B=(B_{1},B_{2},\dots ,B_{n})}
(
∑
i
=
1
n
|
A
i
−
B
i
|
p
)
1
/
p
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}-B_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}
فاصلهٔ منهتنی معادل ۱-نرم، فاصلهٔ شطرنجی معادل ∞-نرم و فاصلهٔ اقلیدسی معادل ۲-نرم (
d
2
{\displaystyle \mathrm {d} _{2}}
در نظریّهٔ گراف‌ها ، فاصلهٔ دو رأس (با نماد
d
{\displaystyle d}
مسیر بین دو آن دو تعریف می‌شود[3]
