نظریه نمایش

نظریه نمایش شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه ساختارهای جبری از طریق نمایش عناصر آن‌ها به صورت تبدیل‌های خطی فضاهای برداری پرداخته و به مطالعه مدول‌ها روی این ساختارهای جبری می‌پردازد.^[۱] اساساً، این گونه نمایش‌ها، اشیاء ساختارهای جبری را با توصیف عناصرشان به کمک ماتریس‌ها و عملگرهای جبری چون جمع و ضرب ماتریسی، ملموس تر می‌کنند. اشیاء جبری که رام چنین توصیفاتی می‌شوند شامل گروه‌ها، جبرهای شرکت پذیر و جبرهای لی می‌شوند. برجسته ترینشان (و از نظر تاریخی اولینشان) نظریه نمایش گروه هاست که در آن عناصر گروه توسط ماتریس‌های معکوس پذیر چنان نمایش داده می‌شوند که عمل گروهی حکم همان عمل دوتایی گروه را دارد.^[۲]

نظریه نمایش به مطالعه چگونگی «کنش» ساختارهای جبری بر روی اشیاء می‌پردازد. یکی از ساده‌ترین مثال‌های آن را در تصویر فوق می‌بینید، در این تصویر مشاهده می‌کنید که چگونه تقارن‌های یک چند ضلعی منظم، شامل انعکاس‌ها و دوران‌ها، بر روی این چند ضلعی عمل تبدیل را انجام می‌دهند.

نظریه نمایش روش مفیدیست، چرا که مسائل جبر مجرد را به مسائل جبر خطی که به خوبی شناخته شده‌اند تقلیل می‌دهد.^[۳] به علاوه، فضای برداری که یک گروه (به عنوان مثال) را روی آن نمایش می‌دهیم می‌تواند بی‌نهایت بعدی باشد، و حتی مثلاً می‌تواند یک فضای هیلبرت باشد که در این صورت می‌توان روش‌های آنالیزی را بر روی نظریه گروه‌ها اعمال کرد.^[۴] نظریه نمایش در فیزیک هم اهمیت دارد، چرا که به عنوان مثال، به توصیف چگونگی تأثیرگذاری تقارن گروهی یک سیستم فیزیکی بر روی مجموعه جواب معادلات توصیف کننده آن سیستم می‌پردازد.^[۵]

نظریه نمایش بین شاخه‌های مختلف ریاضیات نفوذ بالایی دارد، به دو علت: یکی این که کاربردهای نظریه نمایش وسیعند،^[۶] به علاوه اثرات آن بر روی جبر، نظریه نمایش بر روی موارد زیر هم اثرگذار است:

• بر روی آنالیز فوریه پرتو افکنده و آن را از طریق آنالیز هارمونیک تعمیم می‌دهد.^[۷]
• از طریق نظریه پایا و برنامه ارلانگن به هندسه ارتباط پیدا می‌کند.^[۸]
• از طریق فرم‌های اتومورف و برنامه لانگلند بر روی نظریه اعداد اثرگذار است.^[۹]

ثانیاً، رهیافت‌های گسترده‌ای به نظریه نمایش وجود دارد. همان اشیاء را می‌توان با استفاده از روش‌های هندسه جبری، نظریه مدول، نظریه تحلیلی اعداد، هندسه دیفرانسیل، نظریه عملگرها، ترکیبیات جبری و توپولوژی نیز مطالعه کرد.^[۱۰]

موفقیت نظریه نمایش منجر به چندین تعمیم شده است. یکی از عام ترین‌های آن نظریه رسته‌هاست.^[۱۱] اشیاء جبری که نظریه نمایش را می‌توان از دیدگاه آن (از دیدگاه نظریه رسته‌ها) به صورت رسته‌های خاصی دید، و نمایش‌ها را به صورت فانکتور‌هایی از اشیاء رسته به رسته فضاهای برداری دید. این توصیف به دو تعمیم آشکار اشاره می‌کند: اولین آن این که اشیاء جبری را می‌توان با رسته‌های عام تری جایگزین کرد؛ دومین آن این که رسته هدف را می‌توان به جای رسته فضاهای برداری با رسته‌های شناخته شدهٔ دیگری جایگزین نمود.

تعاریف و مفاهیم

فرض کنید ${\displaystyle V}$ یک فضای برداری روی میدانی چون ${\displaystyle \mathbf {F} }$.^[۳] به عنوان مثال، فرض کنید ${\displaystyle V}$ یکی از ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ یا ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$ باشد، یعنی به ترتیب یک فضای برداری معمولی ${\displaystyle n}$-بعدی روی ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ یا ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$ باشد. در این صورت ایده نظریه نمایش این است که جبر مجرد را با استفاده از ماتریس‌های ${\displaystyle n\times n}$ از اعداد حقیقی یا مختلط ملموس کنند.

سه نوع مختلف از اشیاء جبری وجود دارد که برای آن‌ها این کار (ملموس سازی با استفاده از ماتریس‌ها) را می‌توان انجام داد: گروه‌ها، جبرهای شرکت‌پذیر و جبرهای لی.^[۱۲]

• مجموعه تمام ماتریس‌های معکوس‌پذیر ${\displaystyle n\times n}$ تحت ضرب ماتریسی تشکیل گروه می‌دهند و نظریه نمایش گروه‌ها به تحلیل یک گروه با توصیف ("نمایش") عناصرش بر اساس ماتریس‌های معکوس پذیر می‌پردازد.
• جمع و ضرب ماتریسی مجموعه تمام ماتریس‌های ${\displaystyle n\times n}$ را تبدیل به جبر شرکت‌پذیر کرده و لذا متناظر با نظریه نمایش جبرهای شرکت‌پذیر خواهد بود.
• اگر ضرب ماتریسی MN را با جابجاگر ماتریسی ${\displaystyle MN-NM}$ جایگزین کنیم، آنگاه ماتریس‌های ${\displaystyle n\times n}$ تبدیل به جبر لی می‌شوند، که منجر به نظریه نمایش جبرهای لی خواهد شد.

این کار را می‌توان به هر میدان ${\displaystyle \mathbb {F} }$ و هر فضای برداری ${\displaystyle V}$ روی ${\displaystyle \mathbb {F} }$ تعمیم داد، که در آن نگاشت‌های خطی جایگزین ماتریس‌ها و ترکیب جایگزین ضرب ماتریسی می‌شود. اشیائی که با این تعمیم شکل می‌گیرند بدین قرارند: گروهی به نام ${\displaystyle GL(V,\mathbb {F} )}$ از خودریختی (اتومورفیسم)های ${\displaystyle V}$، جبر شرکت‌پذیر ${\displaystyle n\times n}$ از تمام درون‌ریختی (اندومورفیسم)های ${\displaystyle n\times n}$ و جبر لی متناظر آن یعنی ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V,\mathbb {F} )}$.

یادداشت‌ها

1. متون کلاسیک در مورد نظریه نمایش شامل (Curtis و Reiner 1962) و (Serre 1977) می‌شود. دیگر منابع شامل (Fulton و Harris 1991) و (Goodman و Wallach 1998).
2. برای مشاهده تاریخچه نظریه نمایش گروه‌های متناهی (Lam 1998) را ببینید. برای گروه‌های جبری و لی (Borel 2001) را ببینید.
3. کتاب‌های زیادی برای فضاهای برداری و جبر خطی وجود دارند، برای بحث پیشرفته ای ازین مباحث (Kostrikin و Manin 1997) را ببینید.
4. (Sally و Vogan 1989).
5. (Sternberg 1994).
6. (Lam 1998، ص. 372).
7. (Folland 1995).
8. (Goodman و Wallach 1998), (Olver 1999), (Sharpe 1997).
9. (Borel و Casselman 1979), (Gelbart 1984).
10. پانویس‌های قبلی و همچنین (Borel 2001) را ببینید.
11. (Simson، Skowronski و Assem 2007).
12. (Fulton و Harris 1991), (Simson، Skowronski و Assem 2007), (Humphreys 1972).

منابع

• Alperin, J. L. (1986), Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44926-7.
• Bargmann, V. (1947), "Irreducible unitary representations of the Lorenz group", Annals of Mathematics, 48 (3): 568–640, doi:10.2307/1969129, JSTOR 1969129.
• Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5.
• Borel, Armand; Casselman, W. (1979), Automorphic Forms, Representations, and L-functions, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1435-2.
• Curtis, Charles W.; Reiner, Irving (1962), Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), ISBN 978-0-470-18975-7.
• Gelbart, Stephen (1984), "An Elementary Introduction to the Langlands Program", Bulletin of the American Mathematical Society, 10 (2): 177–219, doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6.
• Folland, Gerald B. (1995), A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (به انگلیسی). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103..
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Representations and Invariants of the Classical Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9.
• Gordon, James; Liebeck, Martin (1993), Representations and Characters of Finite Groups, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44590-0.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
• Helgason, Sigurdur (1978), Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces, Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7
• Humphreys, James E. (1972a), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7.
• Humphreys, James E. (1972b), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 21, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773
• Jantzen, Jens Carsten (2003), Representations of Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3527-2.
• Kac, Victor G. (1977), "Lie superalgebras", Advances in Mathematics, 26 (1): 8–96, doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2.
• Kac, Victor G. (1990), Infinite Dimensional Lie Algebras (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46693-6.
• Knapp, Anthony W. (2001), Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4.
• Kim, Shoon Kyung (1999), Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64062-6.
• Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. (1997), Linear Algebra and Geometry, Taylor & Francis, ISBN 978-90-5699-049-7.
• Lam, T. Y. (1998), "Representations of finite groups: a hundred years", Notices of the AMS, 45 (3, 4): 361–372 (Part I), 465–474 (Part II).
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
• Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Geometric invariant theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)], vol. 34 (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, MR 0214602; MR0719371 (2nd ed.); MR1304906(3rd ed.)
• Olver, Peter J. (1999), Classical invariant theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55821-1.
• Peter, F.; Weyl, Hermann (1927), "Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Mathematische Annalen, 97 (1): 737–755, doi:10.1007/BF01447892, archived from the original on 2014-08-19.
• Pontrjagin, Lev S. (1934), "The theory of topological commutative groups", Annals of Mathematics, 35 (2): 361–388, doi:10.2307/1968438, JSTOR 1968438.
• Sally, Paul; Vogan, David A. (1989), Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1526-7.
• Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9.
• Sharpe, Richard W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer, ISBN 978-0-387-94732-7.
• Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007), Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88218-7.
• Sternberg, Shlomo (1994), Group Theory and Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55885-3.
• Tung, Wu-Ki (1985). Group Theory in Physics (1st ed.). New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific. ISBN 978-9971966577.
• Weyl, Hermann (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik (The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931 ed.), S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), ISBN 978-0-486-60269-1.
• Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations (2nd ed.), Princeton University Press (reprinted 1997), ISBN 978-0-691-05756-9.
• Wigner, Eugene P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics, 40 (1): 149–204, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551.

پیوند به بیرون

• "Representation theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Alexander Kirillov Jr., An introduction to Lie groups and Lie algebras (2008). Textbook, preliminary version pdf downloadable from author's home page.