FA
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms

نمایش گروه

From Wikipedia, the free encyclopedia

نمایش گروه
تعریفنمونه هایکریختیجمع مستقیمزیر نمایشمنابع

در ریاضیات، یک نمایش گروه راهی است برای توصیف عناصر یک گروه مجرد به صورت ماتریسها. بنابراین واژه نمایش در اینجا به معنی توصیف یا توضیح عناصر گروه به صورت نگاشتهای خطی است. از آنجا که بررسی این نگاشتها در جبر خطی بسیار کامل و آسان‌تر از بررسی مجرد عناصر یک گروه است، نمایش گروه می‌تواند در فهم و توصیف ویژگی‌های یک گروه کمک کند و بسیاری از مسائل نظریه گروه‌ها را به مسائلی در جبر خطی تقلیل دهد.

فرض کنید G {\displaystyle G} {\displaystyle G} یک گروه و V {\displaystyle V} {\displaystyle V} یک فضای برداری روی میدان K {\displaystyle K} {\displaystyle K} باشد. منظور از یک نمایش گروه G {\displaystyle G} {\displaystyle G} روی V {\displaystyle V} {\displaystyle V} یک همریختی ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho } از G {\displaystyle G} {\displaystyle G} به G L ( V ) {\displaystyle GL(V)} {\displaystyle GL(V)} است. به زبان دیگر یک نگاشت ρ : G → G L ( V ) {\displaystyle \rho :G\to GL(V)} {\displaystyle \rho :G\to GL(V)} به گونه ای که : ρ ( g 1 . g 2 ) = ρ ( g 1 ) ρ ( g 2 ) {\displaystyle \rho (g_{1}.g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2})} {\displaystyle \rho (g_{1}.g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2})} برای هر g 1 , g 2 ∈ G {\displaystyle g_{1},g_{2}\in G} {\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}. در اینجا به V {\displaystyle V} {\displaystyle V} فضای نمایش و بُعد آن را به اصطلاح بُعد نمایش گروه G {\displaystyle G} {\displaystyle G} مینامیم. اگر V {\displaystyle V} {\displaystyle V} بعد متناهی (برای نمونه برابر با n {\displaystyle n} {\displaystyle n}) داشته باشد، به‌طور معمول یم پایه برای آن اختیار میکنیم و گروه G L ( V ) {\displaystyle GL(V)} {\displaystyle GL(V)} را با G L n ( K ) {\displaystyle GL_{n}(K)} {\displaystyle GL_{n}(K)}، گروه ماتریس‌های وارونپذیر n × n {\displaystyle n\times n} {\displaystyle n\times n} روی K {\displaystyle K} {\displaystyle K}، یکی فرض میکنیم. آنگاه می‌توان نمایش ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho } را به صورت همریختیِ ρ : G → G L n ( K ) {\displaystyle \rho :G\to GL_{n}(K)} {\displaystyle \rho :G\to GL_{n}(K)} نمایش داد.

یک نمایش ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho } را وفادار مینامیم، اگر ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho } به عنوان یک نگاشت یک به یک باشد. از آنجا که ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho } یک همریختی میان دو گروه است، می‌توان هسته این همریختی را تعریف کرد و بنابراین قرار میدهیم: K e r ρ := { g ∈ G | ρ ( g ) = i d } {\displaystyle Ker\rho :=\{g\in G|\rho (g)=id\}} {\displaystyle Ker\rho :=\{g\in G|\rho (g)=id\}}. پس ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho } وفادار است اگر و تنها اگر K e r ρ = { e G } {\displaystyle Ker\rho =\{e_{G}\}} {\displaystyle Ker\rho =\{e_{G}\}}.

نمونه ها

  • فرض کنید K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } {\displaystyle K=\mathbb {C} }، G = Z / 3 Z = { 0 ¯ , 1 ¯ , 2 ¯ } {\displaystyle G=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}}\}} {\displaystyle G=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}}\}} و V = C 2 {\displaystyle V=\mathbb {C} ^{2}} {\displaystyle V=\mathbb {C} ^{2}} و تعریف کنید:

ρ ( 0 ) = ( 1 0 0 1 ) , ρ ( 1 ) = ( 1 0 0 u ) , ρ ( 2 ) = ( 1 0 0 u 2 ) . {\displaystyle \rho (0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}},\qquad \rho (1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&u\\\end{pmatrix}},\qquad \rho (2)={\begin{pmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{pmatrix}}.} {\displaystyle \rho (0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}},\qquad \rho (1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&u\\\end{pmatrix}},\qquad \rho (2)={\begin{pmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{pmatrix}}.} که در اینجا u = e 2 π i 3 {\displaystyle u=e^{\frac {2\pi i}{3}}} {\displaystyle u=e^{\frac {2\pi i}{3}}}.

  • فرض کنید K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } {\displaystyle K=\mathbb {R} }، G = Z / 2 Z = { 0 ¯ , 1 ¯ } {\displaystyle G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}}\}} {\displaystyle G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}}\}} و V = R 2 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}} {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}} و تعریف کنید:

ρ ( 0 ) = ( 1 0 0 1 ) {\displaystyle \rho (0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}} {\displaystyle \rho (0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}} و ρ ( 1 ) = ( 1 2 3 4 1 − 1 2 ) {\displaystyle \rho (1)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{4}}\\1&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}} {\displaystyle \rho (1)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{4}}\\1&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}

یکریختی

اگر ρ : G → G L ( V ) {\displaystyle \rho :G\to GL(V)} {\displaystyle \rho :G\to GL(V)} و β : G → G L ( W ) {\displaystyle \beta :G\to GL(W)} {\displaystyle \beta :G\to GL(W)} دو نمایش یک گروه G {\displaystyle G} {\displaystyle G} روی فضاهای برداری V {\displaystyle V} {\displaystyle V}و W {\displaystyle W} {\displaystyle W} باشند، این دو نمایش را یکریخت مینامیم اگر یکریختی κ : V → W {\displaystyle \kappa :V\to W} {\displaystyle \kappa :V\to W} موجود باشد به گونه ای که : κ ∘ ρ ( g ) ∘ κ − 1 = β ( g ) {\displaystyle \kappa \circ \rho (g)\circ \kappa ^{-1}=\beta (g)} {\displaystyle \kappa \circ \rho (g)\circ \kappa ^{-1}=\beta (g)} برای هر g ∈ G {\displaystyle g\in G} {\displaystyle g\in G}.

جمع مستقیم

همچنین فرض کنید ρ 1 : G → G L ( V ) {\displaystyle \rho _{1}:G\to GL(V)} {\displaystyle \rho _{1}:G\to GL(V)} و ρ 2 : G → G L ( W ) {\displaystyle \rho _{2}:G\to GL(W)} {\displaystyle \rho _{2}:G\to GL(W)} دو نمایش گروه G {\displaystyle G} {\displaystyle G} هستند، آنگاه می‌توان نمایشی روی جمع مستقیم V ⊕ W {\displaystyle V\oplus W} {\displaystyle V\oplus W} بدینگونه تعریف نمود: ρ ( g ) = ρ 1 ( g ) + ρ 2 ( g ) {\displaystyle \rho (g)=\rho _{1}(g)+\rho _{2}(g)} {\displaystyle \rho (g)=\rho _{1}(g)+\rho _{2}(g)} , ρ : G → G L ( V ⊕ W ) {\displaystyle \rho :G\to GL(V\oplus W)} {\displaystyle \rho :G\to GL(V\oplus W)}. در اینجا، منظور از ρ 1 ( g ) + ρ 2 ( g ) {\displaystyle \rho _{1}(g)+\rho _{2}(g)} {\displaystyle \rho _{1}(g)+\rho _{2}(g)} نگاشتی است که به صورت مؤلفه ای روی V ⊕ W {\displaystyle V\oplus W} {\displaystyle V\oplus W} عمل می‌کند، به سخن دیگر: ρ 1 ( g ) + ρ 2 ( g ) ( v + w ) = ρ 1 ( g ) v + ρ 2 ( g ) w {\displaystyle \rho _{1}(g)+\rho _{2}(g)(v+w)=\rho _{1}(g)v+\rho _{2}(g)w} {\displaystyle \rho _{1}(g)+\rho _{2}(g)(v+w)=\rho _{1}(g)v+\rho _{2}(g)w} برای هر v ∈ V {\displaystyle v\in V} {\displaystyle v\in V} و w ∈ W {\displaystyle w\in W} {\displaystyle w\in W}.

اگر ρ : G → G L ( V ) {\displaystyle \rho :G\to GL(V)} {\displaystyle \rho :G\to GL(V)} یک نمایش و W ⊂ V {\displaystyle W\subset V} {\displaystyle W\subset V} زیرفضای برداری باشد، آنگاه W {\displaystyle W} {\displaystyle W} را یک زیرنمایش ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho } میخوانیم اگر نسبت به عمل ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho } ناوردا باشد. به زبان دیگر: ρ ( g ) w ∈ W {\displaystyle \rho (g)w\in W} {\displaystyle \rho (g)w\in W} برای هر g ∈ G {\displaystyle g\in G} {\displaystyle g\in G} و w ∈ W {\displaystyle w\in W} {\displaystyle w\in W}. بدیهی است که دو زیرفضای { 0 } {\displaystyle \{0\}} {\displaystyle \{0\}} و V {\displaystyle V} {\displaystyle V} همواره نسبت به نمایش دلخواه ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho } ناوردا و در نتیجه همیشه زیرنمایش هستند. نمایش ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho } را تحویل ناپذیر مینامیم اگر تنها زیر نمایش‌های آن همین دو زیر نمایش بدیهی باشند. اگر مشخصه میدان K {\displaystyle K} {\displaystyle K} کاردینالیتی G {\displaystyle G} {\displaystyle G} را نشمارد، هر نمایش روی میدان K {\displaystyle K} {\displaystyle K} به صورت جمع مستقیم نمایش‌های تحویل ناپذیر قابل توصیف است.

    • Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag, New York 1977.
    • William Fulton, Joe Harris: Representation theory. A first course. Springer-Verlag, New York, 1991
    Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

    Wikiwand in your browser!

    Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

    Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

    Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

    Chrome
    Wikiwand for Chrome
    Edge
    Wikiwand for Edge
    Firefox
    Wikiwand for Firefox

    تعریف

    زیر نمایش

    منابع