نابرابری کوشی–شوارتز

یکی از نامساوی‌های مهم و پرکاربرد در ریاضیات، نامساوی کوشی-شوارتس (به انگلیسی: Cauchy-Schwarz inequality) است که به نام‌های «نامساوی کوشی»، «نامساوی شوارتس»، «نامساوی کوشی-بونیاکوفسکی-شوارتس» و «نامساوی لاگرانژ»^[۱] نیز مشهور است. علت این نامگذاری‌ها، شیوه‌های گوناگون گسترش یافتن این نامساوی به فضاهای مختلف است که در زمینه‌های مختلفی مانند جبر خطی، آنالیز ریاضی و نظریه احتمالات مطرح می‌شود. نابرابری کوشی-شوارتز به عنوان یکی از مهم‌ترین نابرابری‌های ریاضیات شناخته می‌شود^[۲] و به نام آگوستین لویی کوشی و هرمن امندوس شوارتز خوانده می‌شود.

بیان نابرابری

نابرابری کوشی-شوارتز بیان می‌کند که برای هر دو بردار دلخواه x و y در فضای ضرب داخلی داریم:

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }$

که در آن ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ضرب داخلی است. هم‌چنین با گرفتن ریشه دوم طرفین و با توجه به متریک القاء شده توسط این عملگر ضرب داخلی، نامساوی به شکل زیر نوشته می‌شود:

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|\,}$

حالت تساوی رخ می‌دهد اگر و فقط اگر x و y وابستهٔ خطی باشند.

حالات خاص

لم تیتو

برای لم تیتو^[۳] ( همچنین بنام نامساوی برگستورم، فرم انگل یا لم T2 نیز شناخته می‌شود) داریم، برای اعداد حقیقی و مثبت داریم:

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}\quad \equiv \quad {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}\geq {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}.}}$

برای اثبات کافیست تا ضرب داخلی روی فضای برداری ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ را در نظر بگیرید و با جایگذاری ${\displaystyle u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}}$ و ${\displaystyle v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}}$ حکم نتیجه می‌شود.

نامساوی کوشی-شوارتز در دایره واحد صفحه اقلیدسی.

صفحه اقلیدسی (R²)

فضای برداری حقیقی ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$، نشان دهنده صفحه دو بعدی است که در آن ضرب داخلی همان حاصل ضرب نقطه‌ای است. اگر ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{1},v_{2}\right)}$ و ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2}\right)}$ آنگاه نابرابری کوشی-شوارتز می شود:

${\displaystyle \displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}=(\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},}$

که در آن θ، زاویه بین u و v است.

حالت بالا شاید ساده‌ترین شکل برای درک نابرابری باشد، زیرا مجذور کسینوس حداکثر می‌تواند ۱ باشد، که زمانی اتفاق می‌افتد که بردارها در یک جهت یا مخالف هم باشند. همچنین می توان آن را بر حسب مختصات برداری ${\displaystyle u_{1},u_{2},v_{1}{\text{و}}v_{2}}$ تنظیم کرد:

${\displaystyle \left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\right)^{2}\leq \left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right),}$

که در آن تساوی برقرار است اگر و فقط اگر بردار ${\displaystyle \left(u_{1},u_{2}\right)}$ در جهت یکسان یا مخالف ${\displaystyle \left(v_{1},v_{2}\right)}$ باشد یا اگر یکی از آنها بردار صفر است.

فضای n-بعدی مختلط (Cⁿ)

اگر ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {C} }$ و ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in \mathbb {C} }$ اعداد مختلط دلخواه باشند، و نماد بار نشان‌دهندهٔ مزدوج مختلط باشد، نابرابری را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

${\displaystyle |x_{1}{\bar {y}}_{1}+\cdots +x_{n}{\bar {y}}_{n}|^{2}\leq (|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2})(|y_{1}|^{2}+\cdots +|y_{n}|^{2}).}$

در R

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}$$

مراجع

1. Mitrinović, D. S.; Pečarić, J. E.; Fink, A. M. (1993). "Classical and New Inequalities in Analysis". doi:10.1007/978-94-017-1043-5. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
2. The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Ch. 1 by J. Michael Steele.
3. "Sedrakyan's inequality". Wikipedia (به انگلیسی). 2022-01-15.

منابع

• محمد صال‌مصلحیان و فاطمه عبدالله‌زاده گنابادی، "بازنگاهی به نامساوی کوشی-شوارتس"، فرهنگ و اندیشۀ ریاضی سال ٣۶، شمارۀ ۶١ (پاییز و زمستان ١٣٩۶) صص. ٩٩ تا ١١۵