نیم-مشبکه

در ریاضیات، جوین-نیم-مشبکه (به انگلیسی: Join-Semilattice) (یا نیم-مشبکه بالایی (به انگلیسی: Upper Semilattice)) یک مجموعه جزئاً مرتب (یا پوست یا POSET) است که هر زیرمجموعه ناتهی متناهی آن جوین داشته باشد. دوگان تعریف اخیر میت-نیم-مشبکه (به انگلیسی: Meet-Semilattice) (یا نیم-مشبکه پایینی (به انگلیسی: Lower Semilattice)) یک مجموعه جزئاً مرتب است که هر زیرمجموعه ناتهی متناهی آن میت (یا بزرگترین کران پایینی) داشته باشد. اگر ترتیب هر جوین-نیم-مشبکه را معکوس کنیم به میت-نیم-مشبکه می رسیم و برعکس.

روابط دوتایی ترایا
متقارن پادمتقارن کانکس خوش-بنیان ${\displaystyle \vee }$ دارد ${\displaystyle \wedge }$ دارد بازتابی غیربازتابی نامتقارن رابطه هم‌ارزی ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ پیش‌ترتییب (شبه‌ترتیب) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ترتیب جزئی ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ پیش-ترتیب کلی ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ترتیب کلی ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ پیش-خوش‌ترتیب ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ خوش-شبه-ترتیب ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ خوش‌ترتیب ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ مشبکه ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ جوین-نیم-مشبکه ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✓ ✗ ✗ میت-نیم-مشبکه ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ جزئی‌مرتب قطعی ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ مجوعه ضعیف‌مرتب ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ ترتیب کلی قطعی ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ تعاریف: برای تمام ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ ها و ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ : ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
علامت "✓" نشان‌دهنده آن است که ویژگی ستونی در تعریف آن سطر لازم است. برای مثال تعریف رابطه هم‌ارزی لازم دارد تا متقارن باشد. به صورت ضمنی همه این تعاریف ترایا و بازتابی می‌باشند. علامت "✗" نشان‌دهنده آن است که ویژگی به طور کلی تضمین نمی‌شود (می‌تواند برقرار باشد، یا نباشد). تمام روابط بالا مستلزم آن است که رابطه همگون ${\displaystyle R}$ ترایا باشد: برای تمام ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ و ${\displaystyle c}$ ها، اگر ${\displaystyle aRb}$ و ${\displaystyle bRc}$ آنگاه ${\displaystyle aRc}$.

تعریف جبری

یک میت-نیم-مشبکه ساختاری جبری چون ${\displaystyle \langle S,\wedge \rangle }$ است که شامل مجموعه ${\displaystyle S}$ با عمل دوتایی ${\displaystyle \wedge }$ است که به آن میت (به انگلیسی: Meet) می گویند، چنان که برای تمام اعضای ${\displaystyle x,y,z\in S}$ اتحادهای زیر برقرار باشند:

شرکتپذیری:

${\displaystyle x\wedge (y\wedge z)=(x\wedge y)\wedge z}$

جابجایی:

${\displaystyle x\wedge y=y\wedge x}$

خودتوانی:

${\displaystyle x\wedge x=x}$

نماد ${\displaystyle \vee }$ جوین (به انگلیسی: Join) نامیده می شود، اگر در تعریف بالا جای تمام ${\displaystyle \wedge }$ ها قرار دهیم ${\displaystyle \vee }$، به تعریف جوین-نیم-مشبکه می رسیم.

منابع

• Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (second ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4.
• Vickers, Steven (1989). Topology via Logic. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36062-5.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Semilattice». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.