ساختار ریز

اصلاحات نسبیتی انرژی جنبشی

خلاصه

دیدگاه

به شکل کلاسیک، جمله انرژی جنبشی هامیلتونی عبارت است از

T={\frac {p^{2}}{2m}},

که $p$ تکانه و $m$ جرم الکترون است.

اما وقتی نظریه دقیقتری در مورد طبیعت مانند نسبیت خاص را در نظر بگیریم، باید از شکل نسبیتی انرژی جنبشی استفاده کنیم

T={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2},

که جمله نخست آن کل انرژی نسبیتی و جمله دوم انٰرژی سکون الکترون است ( $c$ سرعت نور است). با بسط این معادله در یک سری تیلور (به طور خاص یک سری دوجمله‌ای)، به این عبارت می‌رسیم

T={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}+\cdots .

بنابراین اصلاح مرتبه اول هامیلتونی

H_{\mathrm {kinetic} }=-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}.

است. با استفاده از این به عنوان یک اغتشاش می‌توانیم اصلاحات مرتبه اول انرژی ناشی از آثار نسبیتی محاسبه کنیم :

E_{n}^{(1)}=\left\langle \psi ^{0}\right\vert H'\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{4}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle

که $\psi ^{0}$ تابع موج بدون اختلال است. با یادآوری هامیلتونی بدون اختلال، خواهیم دید که

{\begin{aligned}H^{0}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\\left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=2m(E_{n}-V)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \end{aligned}}

می‌توانیم از این نتیجه استفاده کنیم تا محاسبه بیشتری در مورد اصلاحات نسبیتی انجام دهیم:

{\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert (2m)^{2}(E_{n}-V)^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\left\langle V^{2}\right\rangle \right)\end{aligned}}

برای اتم هیدروژن، $V(r)={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$ , $\left\langle {\frac {1}{r}}\right\rangle ={\frac {1}{a_{0}n^{2}}}$ و $\left\langle {\frac {1}{r^{2}}}\right\rangle ={\frac {1}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}$ که $a_{0}$ شعاع بور است، $n$ عدد کوانتومی اصلی و $l$ عدد کوانتومی سمتی است. بنابراین اصلاح مرتبه اول نسبیتی برای اتم هیدروژن عبارت است از: