خاصیت توزیع‌پذیری

توزیع‌پذیری یا پخش‌پذیری خاصیتی در ریاضیات است که برای عملی دوتایی تعریف می‌شود.

الگوریتم خاصیت توزیع پذیری

تعریف

فرض کنیم ${\displaystyle *}$ و ${\displaystyle \circ }$ اعمالی دوتایی در مجموعه ناتهی A باشند. عمل ${\displaystyle *}$ را نسبت به ${\displaystyle \circ }$ توزیع‌پذیر خوانیم هرگاه به ازای هر a و b و c از A، دو برابری زیر برقرار باشند:

${\displaystyle a*(b\circ c)=(a*b)\circ (a*c)}$ ${\displaystyle (b\circ c)*a=(b*a)\circ (c*a)}$

برابری نخست را توزیع‌پذیری از چپ و برابری دوم را توزیع‌پذیری از راست می‌نامیم.

مثال‌ها

• در مجموعه‌های اعداد حقیقی و مختلط عمل ضرب نسبت به جمع و تفریق توزیع‌پذیر است. یعنی همواره

(a×(b+c) = (a×b)+(a×c و (a×(b-c) = (a×b)-(a×c

• اعمال اجتماع و اشتراک در مجموعه‌ها نسبت به یکدیگر توزیع‌پذیرند. یعنی برای هر سه مجموعه دلخواه A و B و C،

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$ ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

• ضرب دکارتی نسبت به اجتماع و اشتراک توزیع‌پذیر است. اگر A و B و C را سه مجموعه بگیریم، آنگاه

${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}$ ${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}$

• حاصلضرب دکارتی نسبت به عمل متممگیری توزیع‌پذیر است.

${\displaystyle A\times (B-C)=(A\times B)-(A\times C)}$

• در اعداد اصلی عمل ضرب نسبت به عمل جمع توزیع‌پذیر است.
• در منطق، و (∧) نسبت به یا (∨) توزیع‌پذیر است و برعکس. اگر فرض کنیم P و Q و R گزاره هستند، آنگاه

${\displaystyle (P\land (Q\lor R))\equiv ((P\land Q)\lor (P\land R))}$ ${\displaystyle (P\lor (Q\land R))\equiv ((P\lor Q)\land (P\lor R))}$

جستارهای وابسته

• شرکت‌پذیری
• جابه‌جایی

منابع

• مصاحب، غلامحسین (۱۳۸۱). آنالیز ریاضی. ج. اول. تهران: امیرکبیر. شابک ۹۶۴-۰۰-۰۶۳۰-۰.
• لین، شووینگ تی.؛ لین، یو–فنگ. (۱۳۸۲). نظریهٔ مجموعه‌ها و کاربردهای آن. ترجمهٔ عمید رسولیان. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۶۴-۰۱-۰۴۶۲-۰.