FA
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms

عملگر نردبانی

From Wikipedia, the free encyclopedia

عملگر نردبانی
شرح ریاضیبرخی کاربردهانوسانگر هماهنگمنابع

در جبر خطی و مکانیک کوانتومی، عملگر بالابرنده (به انگلیسی: raising operator) یا عملگر پایین‌آورنده (به انگلیسی: lowering operator) که در مجموع عملگر نردبانی (انگلیسی: Ladder operator) خوانده می‌شوند عملگرهایی هستند که ویژه‌مقدار یک عملگر دیگر را افزایش یا کاهش می‌دهند. گاهی در فیزیک این عملگرها عملگر خلق و عملگر فنا نیز خوانده می‌شوند. از مشهورترین کاربردهای این عملگرها در مکانیک کوانتومی می‌توان به تحلیل نوسانگر هماهنگ کوانتومی و تکانه زاویه‌ای اشاره کرد.

اولین بار دیراک این عملگرها را ابداع و از این روش برای تحلیل تکانه‌ی زاویه‌ای و نشان دادن اینکه عدد کوانتومی تکانه‌ی زاویه‌ای کل باید مضربی از ℏ / 2 {\displaystyle \hbar /2} {\displaystyle \hbar /2} باشد استفاده کرد.[1]

دو عملگر X و N را با فرض [ N , X ] = c X , {\displaystyle [N,X]=cX,\quad } {\displaystyle [N,X]=cX,\quad } که در آن c یک اسکالر است در نظر می‌گیریم.اگر | n ⟩ {\displaystyle {|n\rangle }} {\displaystyle {|n\rangle }} یک ویژه‌حالت N با معادله ویژه‌مقداری N | n ⟩ = n | n ⟩ , {\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle ,\,} {\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle ,\,} باشد، در آن صورت عملگر X به گونه‌ای بر روی | n ⟩ {\displaystyle \scriptstyle {|n\rangle }} {\displaystyle \scriptstyle {|n\rangle }} عمل می‌کند که ویژه‌مقدار را به مقدار c جابه‌جا کند:

N X | n ⟩ = ( X N + [ N , X ] ) | n ⟩ = X N | n ⟩ + [ N , X ] | n ⟩ = X n | n ⟩ + c X | n ⟩ = ( n + c ) X | n ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}

به عبارت دیگر، اگر | n ⟩ {\displaystyle {|n\rangle }} {\displaystyle {|n\rangle }} یک ویژه‌حالت N با ویژه‌مقدار n باشد در آن صورت X | n ⟩ {\displaystyle \scriptstyle {X|n\rangle }} {\displaystyle \scriptstyle {X|n\rangle }} یک ویژه‌حالت N با ویژه‌مقدار n + c است. در اینجا اگر c حقیقی و مثبت باشد X یک عملگر بالابرنده یا عملگر خلق برای N است و اگر c حقیقی و منفی باشد X یک عملگر پایین‌آورنده یا عملگر فنا برای N است.

اگر N یک عملگر هرمیتی باشد، در آن صورت c باید حقیقی باشد و الحاقی هرمیتی (Hermitian adjoint) آن در رابطه‌ی : [ N , X † ] = − c X † . {\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.\quad } {\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.\quad } صدق می‌کند. به‌خصوص، اگر X یک عملگر پایین‌آورنده برای N باشد، X† یک عملگر بالابرنده برای N است و بالعکس.

نوسانگر هماهنگ

یکی از کاربردهای عملگرهای خلق و فنا، تحلیل نوسانگر هماهنگ است. برای این کار، عملگرهای خلق و فنا به صورت زیر تعریف می‌شوند:

a = m ω 2 ℏ ( x ^ + i m ω p ^ ) a † = m ω 2 ℏ ( x ^ − i m ω p ^ ) {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}

در این صورت، نمایش عملگرهای مکان و تکانه به صورت زیر درمی‌آید:

x ^ = ℏ 2 1 m ω ( a † + a ) p ^ = i ℏ 2 m ω ( a † − a )   . {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}{\frac {1}{m\omega }}}}(a^{\dagger }+a)\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}m\omega }}(a^{\dagger }-a)~.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}{\frac {1}{m\omega }}}}(a^{\dagger }+a)\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}m\omega }}(a^{\dagger }-a)~.\end{aligned}}}

(عملگر a هرمیتی نیست، زیرا الحاقی آن a† با خودش برابر نیست.) در این صورت، با اعمال این عملگرها روی ویژه‌حالت‌های انرژی |n⟩، ویژه‌مقدارهای انرژی به صورت زیر تغییر می‌کنند:

a † | n ⟩ = n + 1 | n + 1 ⟩ a | n ⟩ = n | n − 1 ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\a|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\a|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}

بنابراین a† یک کوانتوم انرژی به انرژی حالت اضافه و a به همان میزان انرژی آن را کاهش می‌دهد. به همین دلیل به این عملگرها، عملگر خلق و فنا نیز گفته می‌شود.[2]

  1. [1]
    «نسخه آرشیو شده» (PDF). بایگانی‌شده از اصلی (PDF) در ۸ دسامبر ۲۰۱۷. دریافت‌شده در ۲۴ مارس ۲۰۱۸.
  2. [2]
    Shankar، Ramamurti (۲۰۱۲). Principles of Quantum Mechanics. Springer.
  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Ladder operator». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۴ مارس ۲۰۱۸.
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

شرح ریاضی

برخی کاربردها

منابع