برگ‌سازی

در شاخه هندسه دیفرانسیل از ریاضیات، برگ‌سازی (به انگلیسی: Foliation)، نوعی رابطه هم‌ارزی روی یک n-منیفلد است. در رابطه هم‌ارزی مذکور، هر رده هم‌ارزی برابر زیرمنیفلدهای همبندی است که به‌طور یک-به-یک ایمرس شده و همگی دارای بعدی برابر با p می‌باشند. منیفلدهای مذکور روی تجزیه فضای مختصات حقیقی ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ به هم‌دسته‌های ${\displaystyle x+\mathbb {R} ^{p}}$ که در ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ به صورت استاندارد نشانده شده‌اند، مدل‌سازی می‌شوند. این رده‌های هم‌ارزی را برگ‌های این برگ‌سازی می‌گویند.^[1] اگر منیفلد مورد نظر و/یا زیرمنیفلدهای آن ملزم به داشتن خواصی چون قطعه-به-قطعه خطی بودن، دیفرانسیل‌پذیری (از رده ${\displaystyle C^{r}}$) یا ساختاری تحلیلی شوند، آنگاه می‌توان به ترتیب برگ‌سازی‌های قطعه-به-قطعه خطی، دیفرانسیل‌پذیر یا تحلیلی ایجاد نمود. در مهم‌ترین حالت، برگ‌سازی از رده ${\displaystyle C^{r}}$ را به صورت ${\displaystyle r\geq 1}$ در نظر می‌گیرند (چرا که حالت ${\displaystyle C^{0}}$، برگ‌سازی توپولوژیکی است).^[2] عدد p (بعد برگ‌ها) را بعد برگ‌سازی نامیده و ${\displaystyle q=n-p}$ را هم‌بعد آن گویند.

مقطع ۲-بعدی از برگ‌سازی ریب

مدل ۳-بعدی از برگ‌سازی ریب

در برخی مقالاتی که ریاضی-فیزیک‌دانان در مورد نسبیت عام نگاشته‌اند، اصطلاح برگ‌سازی (یا قاچ زدن، slicing) را جهت توصیف شرایطی به کار می‌برند که منیفلد لورنتزی مد نظر (فضا-زمان (p+1)-بعدی)، به ابر رویه‌های p بعدی تجزیه شده باشد، به گونه‌ای که می‌توان آن را به صورت مجوعه‌های سطحی (level sets) از یک تابع هموار حقیقی-مقداری (میدان نرده‌ای) در نظر گرفت که گرادیانش همه جا ناصفر است؛ همچنین اغلب این تابع هموار را تابع زمانی در نظر می‌گیرند، یعنی گرادیان آن زمان-گونه است، چنان‌که مجموعه‌های سطحی‌اش همگی ابررویه‌هایی فضا-گونه اند. در تمایز با واژه‌شناسی استاندارد ریاضیاتی، این ابررویه‌ها را اغلب برگ‌های (یا قاچ‌های) برگ‌سازی گویند.^[3] توجه کنید که با وجود این که این شرایط از نظر ریاضیاتی موجب ایجاد برگ‌سازی با هم-بعد ۱ می‌شود، اما مثال‌های این نوع برگ‌سازی در عمل از نظر سرتاسری بدیهی اند؛ در حالی که برگ‌های برگ‌سازیی با هم-بعد ۱ همیشه به‌طور موضعی، مجموعه‌های سطحی از یک تابع اند، این برگ‌سازی‌ها را عموماً نمی‌توان در حالت سرتاسری به این صورت بیان نمود،^[4][5] چرا که ممکن است یک برگ از چارت (یا کارت) بدیهی‌ساز موضعی بی‌نهایت بار عبور کند و همچنین ممکن است هولونومی حول یک برگ، وجود توابعی که به‌طور سرتاسری برای برگ‌ها سازگار اند را نیز مانع شود. به عنوان مثال، درحالی که ۳-کره دارای برگ‌سازی معروفی با هم-بعد ۱ است که توسط Reeb کشف شد، برگ‌سازی با هم-بعد ۱ از منیفلد بسته دلخواه را نمی‌توان مجهز به مجموعه‌های سطحی یک تابع هموار نمود، چرا که تابع هموار دلخواه روی یک منیفلد بسته لزوماً دارای نقاط بحرانی در ماکسیمم‌ها و مینیمم‌هایش می‌باشد.

ارجاعات

1. (Candel و Conlon 2000، ص. 5)
2. (Anosov 2001)
3. (Gourgoulhon 2012، ص. 56)
4. Reeb, G. (1959). "Remarques sur les structures feuilletées" (PDF). Bull. Soc. Math. France. 87: 445–450. doi:10.24033/bsmf.1539. Zbl 0122.41603.
5. (Lawson 1974)

منابع

• Anosov, D.V. (2001) [1994], "Foliation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Candel, Alberto; Conlon, Lawrence (2000). Foliations I. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 23. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0809-5.
• Candel, Alberto; Conlon, Lawrence (2003). Foliations II. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 60. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0809-5.
• Gourgoulhon, Éric (2012). 3+1 Formalism in General Relativity. Lecture Notes in Physics. Vol. 846. Heidelberg, New York, Dordrecht, London: Springer. doi:10.1007/978-3-642-24525-1. ISBN 978-3-642-24524-4.
• Haefliger, André (1970), "Feuilletages sur les variétés ouvertes", Topology, 9 (2): 183–194, doi:10.1016/0040-9383(70)90040-6, ISSN 0040-9383, MR 0263104
• Lawson, H. Blaine (1974), "Foliations", Bulletin of the American Mathematical Society, 80 (3): 369–418, doi:10.1090/S0002-9904-1974-13432-4, ISSN 0002-9904, MR 0343289
• Moerdijk, Ieke; Mrčun, J. (2003), Introduction to foliations and Lie groupoids, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 91, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83197-0, MR 2012261
• Reeb, Georges (1952), Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées, Actualités Sci. Ind. , no. 1183, Hermann & Cie. , Paris, MR 0055692
• Thurston, William (1974), "The theory of foliations of codimension greater than one", Commentarii Mathematici Helvetici, 49: 214–231, doi:10.1007/BF02566730, ISSN 0010-2571, MR 0370619, S2CID 120603728^{[پیوند مرده]}
• Thurston, William P. (1976), "Existence of codimension-one foliations", Annals of Mathematics, Second Series, 104 (2): 249–268, doi:10.2307/1971047, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971047, MR 0425985