Yukawaren potentzial

Yukawaren potentziala (Coulomben pantaila-efektu potentziala ere esaten zaio) ${\displaystyle V{yukawa}=-g^{2}{\frac {e^{-kmr}}{r}}}$ formaren potentziala da^[1], non g eskala-magnitude konstantea den, hau da, potentzialaren anplitudea, m partikularen masa, r partikularekiko distantzia erradiala, eta k beste eskala-konstante bat, beraz, ${\displaystyle {\frac {1}{km}}}$ gutxi gorabeherako heina da.

Potentziala r monotonoan handitzen da eta negatiboa da, indarra erakargarria dela esanez. SI sisteman, Yukawa potentzialaren unitatea (1 / metro) da.

Eremu hau, nukleo atomikoan, protoien eta neutroien elkarrekintza hurbiltzeko aurkeztu zen.

Historia

1930eko hamarkadan, Hideki Yukawak frogatu zuen, horrelako potentzialtasuna, zelai eskalar masiboen trukearen bidez agertzen dela. Potentzial mota honek, hainbat aplikazio ditu haien artean, bi nukleoren arteko elkarrekintza. Bi nukleoek erakarpen-mota erakargarriak izan ditzakete kargatutako pioien trukearen ondorioz, bi partikulek elektromagnetikoki elkar eragiten duten fotoi-trukaketaren antzeko modu batean. Eremu elektromagnetikoa, fotoien bitartez "garraiatuta" dagoen bezala, yukawa potentzialak deskribatutako eremu pionikoak, pioiek "garraiatzea" da.^[2]

Coulomben potentzialarekiko erlazioa

Yukawa potentzialen konparaketa, non g = 1 eta m-ko hainabt balio

Masa, zero bada (m = 0), Yukawa potentziala, Coulomb potentzialaren berdina da, beraz heina infinitua da. Hau da, ${\displaystyle \displaystyle m=0\Rightarrow e^{-\alpha mr}=e^{0}=1.}$

Ondorioz, ekuazioa sinplifikatu egiten da Coulomben potentzialaren formara, non eskala-konstantea ezarrita dagoen.

${\displaystyle {\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}}}\Rightarrow V_{\text{Coulomb}}(r)=-g^{2}{\frac {1}{r}}\Rightarrow {\displaystyle g^{2}={\frac {q_{1}q_{2}}{~4\pi \epsilon _{0}~}}\quad }}$^[3]

Furierren eraldaketa

Yukawa potentziala eremu masibo batekin erlazionatuta dagoela ulertzeko modurik errazena, Fourier-en transformazioa aztertzen da, non integrala 3.bektorearen momentuko k balore guztien gainetik egiten baita.

${\displaystyle {\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-g^{2}}{(2\pi )^{3}}}\int e^{i\mathbf {k\cdot r} }{\frac {4\pi }{k^{2}+(\alpha m)^{2}}}\;\operatorname {d} ^{3}k}}$

Forma honetan, eta eskala faktorea betan, ${\displaystyle {\displaystyle \alpha =1}}$, ezarrita, zatikia (${\displaystyle {\displaystyle {\frac {4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}}$) Klein – Gordon ekuazioaren hedatzailea edo Green funtzioa dela ikusi daiteke.^[4]

Feynmanen anplitudea

Partikula bakarreko trukaketa

Yukawa potentziala fermioen bikote baten elkarrekintzaren anplitudearen ordena txikiena izan daiteke. Yukawa elkarreraginak, fermion eremuak (${\displaystyle {\displaystyle \psi (x)}}$) mesonera eremua (${\displaystyle {\displaystyle \phi (x)}}$) lotzen du, akoplazio terminoa erabiliz.^[5]

${\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(x)=g~{\overline {\psi }}(x)~\phi (x)~\psi (x)~.}}$

Bi fermioren hedapen anplitudea, bata hasierako momentuarekin (${\displaystyle {\displaystyle p_{1}}}$) eta bestea momentuarekin (${\displaystyle {\displaystyle p_{2}}}$), Mesoi baten k momentuarekin trukatzen da, Feynman diagramaren bidez.

Feynman-en arauek, erpin bakoitzeko g faktorea, anplitudearekin lotzen dute; Eskuineko diagramak bi erpinak dituenez, anplitude osoak ${\displaystyle {\displaystyle g^{2}}}$ faktorea izango du. Erdian dagoen lerroak, bi fermio lerro lotzen dituena, mesoi baten trukea adierazten du.

Partikula trukatzeko Feynman araua hedatzailea erabiltzea da; Mezu masibo baten hedatzailea ${\displaystyle {\displaystyle {\frac {-4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}}$ da.

Horrela, ikusten dugu grafiko honen Feynman anplitudea ez dela besterik ${\displaystyle {\displaystyle V(\mathbf {k} )=-g^{2}{\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}~.}}$^[5]

Schrödinger-en ekuazioaren baliokideen balioa

Schrödinger erradiala Yukawa potentzialarekin ekuazioa modu perturbatiboan konpondu daiteke.^[6] Schrödinger ekuazio erradialaren forma, eta Yukawa potentziala hedatutako potentziaren forma ${\displaystyle {\displaystyle K=ik}}$ ezarpenean lortzen da, eta momentu angeluarraren (${\displaystyle {\displaystyle \ell }}$) bidez, ${\displaystyle {\displaystyle \ell +n+1=-{\frac {~\Delta _{n}(K)~}{2K}}}}$ adierazpena lortzen da.

${\displaystyle {\displaystyle |K|\rightarrow \infty }}$ denean, ondorengo formula lortzen da.^[6]$${\displaystyle {\displaystyle \Delta _{n}(K)=M_{0}-{\frac {1}{2K^{2}}}{\Bigl [}~n(n+1)M_{2}+M_{0}M_{1}~{\Bigr ]}-{\frac {(2n+1)M_{0}M_{2}}{4K^{3}}}}{\displaystyle \quad +~{\frac {1}{8K^{4}}}{\Bigl [}~3M_{4}(n-1)n(n+1)(n+2)+2M_{3}M_{0}(3n^{2}+3n-1)}{\displaystyle \quad +~{\frac {1}{8K^{4}}}{\Bigl [}~3M_{4}(n-1)n(n+1)(n+2)+2M_{3}M_{0}(3n^{2}+3n-1)}{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +~6M_{2}M_{1}n(n+1)+2M_{2}M_{0}^{2}+3{M_{1}}^{2}M_{0}~{\Bigr ]}}{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +~6M_{2}M_{1}n(n+1)+2M_{2}M_{0}^{2}+3{M_{1}}^{2}M_{0}~{\Bigr ]}}{\displaystyle \quad +~{\frac {(2n+1)}{8K^{5}}}{\Bigl [}~3M_{4}M_{0}(n^{2}+n-1)+3M_{3}M_{0}^{2}}{\displaystyle \quad +~{\frac {(2n+1)}{8K^{5}}}{\Bigl [}~3M_{4}M_{0}(n^{2}+n-1)+3M_{3}M_{0}^{2}}{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +~M_{2}^{2}n(n+1)+4M_{2}M_{1}M_{0}~{\Bigr ]}\quad +\quad O\left({\frac {1}{K^{7}}}\right)~.}{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +~M_{2}^{2}n(n+1)+4M_{2}M_{1}M_{0}~{\Bigr ]}\quad +\quad O\left({\frac {1}{K^{7}}}\right)~.}}$$

Sekzio gurutzatua

Yukawa potentziala erabiliz, protoiaren edo neutroiaren eta pioiaren arteko sekzio diferentziala kalkulatu daiteke. Horretarako Born hurbilketa erabiltzen da, eta horrek esaten du, potentzialki simetrikoan, irteerako uhin sakabanatuaren funtzioa sarrerako uhin funtzioaren batura eta perturbazio txikia dela; ${\displaystyle {\displaystyle \psi ({\vec {r}})\approx A{\bigg [}(e^{ipr})+{\frac {e^{ipr}}{r}}f(\theta ){\bigg ]}}}$, non ${\displaystyle {\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {z}}}}$ partikularen sarrerako momentua da.

${\displaystyle {\displaystyle f(\theta )}}$ funtzioa honako hau da, ${\displaystyle {\displaystyle f(\theta )={\frac {-2\,\mu }{~\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|~}}\,\int \limits _{0}^{\infty }r\,V(r)\,\sin {\left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\,\right)}~\operatorname {d} r~}{\displaystyle f(\theta )={\frac {-2\,\mu }{~\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|~}}\,\int \limits _{0}^{\infty }r\,V(r)\,\sin {\left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\,\right)}~\operatorname {d} r~}}$, non ${\displaystyle {\displaystyle ~{\vec {p}}'=p,{\hat {r}}~}}$ partikularen irteerako momentua sakabanatuta dago, eta ${\displaystyle \mu }$ sarrerako partikulen masa da. ${\displaystyle f(\theta )}$ kalkulatzen kalkulatu ahal izateko ${\displaystyle V_{Yukawa}}$ konektatu behar da.

${\displaystyle {\displaystyle f(\theta )={\frac {2\,\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,g^{2}\,\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\alpha mr}\,\sin {\left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\right)}\operatorname {d} r~}}$^[7]

Erreferentziak

1. (Gaztelaniaz) Soria, Antonio Ferrer. (2006). Física nuclear y de partículas (2a ed.). Publicacions de la Universitat de València ISBN 978-84-370-6568-7. (Noiz kontsultatua: 2020-04-29).
2. Yukawa, H. (1935). "Sobre la interacción de partículas elementales" (PDF)
3. Griffiths, David J. (2017). Introducción a la mecánica cuántica
4. Tom Lancaster and Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur, (2014)
5. «The Fourier Transform of the Coulomb Potential» blog.cupcakephysics.com (Noiz kontsultatua: 2020-04-29).
6. Müller, H.J.W.; Schilcher, K. (1968). "High-energy scattering for Yukawa potentials".
7. Griffiths, David J. (2017). Introduction to Quantum Mechanics

Kanpo estekak

• Datuak: Q1153833