EU
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Eulerren identitate

Eulerren identitate

From Wikipedia, the free encyclopedia

Eulerren identitate
Edertasun matematikoaEulerren formulatik Eulerren identitateraIdentitatearen azalpenaIdentitatearen interpretazio geometrikoaHistoriaEulerren identitatearen ondorioak eta aplikazioakAplikazioa trigonometrianEulerren Identitatearen beste aplikazio batzuk[5]Ikusi ereErreferentziakIturriak

Eulerren identitatea, batzuetan Eulerren ekuazioa ere deitua, matematikan garrantzi handia duten zenbakiak elkartzen dituen ekuazio hau da:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!} {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!}
Thumb
e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1\,\!} {\displaystyle e^{i\pi }=-1\,\!}

Eulerren identitatea Eulerren formularen ( e i x = cos ⁡ ( x ) + i sin ⁡ ( x ) {\textstyle e^{\,ix}=\cos(x)+i\sin(x)} {\textstyle e^{\,ix}=\cos(x)+i\sin(x)}) kasu berezi bat da, x = π {\textstyle x=\pi } {\textstyle x=\pi } denean lortzen dena.

Eulerren identitatea osatzen duten terminoen esanahia hurrengoa da:

  • e {\displaystyle e} {\displaystyle e} Eulerren zenbakia da, logaritmo naturalen oinarria. ( e ≈ 2 , 7828 {\displaystyle e\approx 2,7828} {\displaystyle e\approx 2,7828})
  • i {\displaystyle i} {\displaystyle i} unitate irudikaria da, definizioz i 2 = − 1 {\displaystyle i^{\,2}=-1} {\displaystyle i^{\,2}=-1} betetzen duena.
  • π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } pi zenbakia da, zirkunferentzia baten luzera eta bere diametroaren arteko harremana. ( π ≈ 3 , 1416 {\displaystyle \pi \approx 3,1416} {\displaystyle \pi \approx 3,1416})
  • 0 {\displaystyle 0} {\displaystyle 0} (zero) batuketa eta kenketaren elementu neutroa da.
  • 1 {\displaystyle 1} {\displaystyle 1} (bat) biderketa eta zatiketaren elementu neutroa da.

Identitateak Leonhard Euler matematikari suitzarren izena darama, eta edertasun matematikoaren[1] adibidetzat hartzen da, matematikan oinarrizkoak diren zenbakien arteko lotura erakusten baitu[2].

Eulerren identitatea edertasun matematiko sakonaren adibide gisa aipatzen da askotan. Izan ere, oinarrizko eragiketa aritmetikoetako hiru zehazki behin gertatzen dira (batuketa, biderketa eta berreketa) eta, gainera, identitateak oinarrizko bost konstante matematiko lotzen ditu.

Keith Devlinek, Stanfordeko Unibertsitateko matematikako irakasleak, esan zuen moduan, "maitasunaren esentzia bera harrapatzen duen Shakespeareren soneto bat bezala, edo edertasuna giza formatik ateratzen duen pintura bat bezala, Eulerren ekuazioa existentziaren sakontasunetaraino iristen da"[3].

Eulerren identitatea matematika aplikatuen eta teorikoen arlo askoren bihotzean dago. Izan ere, e {\displaystyle e} {\displaystyle e}, π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } eta i {\displaystyle i} {\displaystyle i} zenbakien arteko lotura eder eta sakona ezartzeaz gain, funtzioen eraldaketa eta manipulaziorako oinarri teorikoa ere ematen du. Azken hau egia da, bereziki, analisi konplexuan, non Eulerren identitatea kalkuluak sinplifikatzeko eta zenbaki konplexuak inplikatzen dituzten problemak ebazteko erabiltzen den.

Egia esan, ez da beharrezkoa matematikaren ezagutza sakona izatea, ezta Eulerren identitatearen frogapena ulertzeko gai izatea, identitate honek gordetzen duen edertasuna ikusteko. Izan ere, formula hain erraz batean hain funtsezkoak diren bost zenbaki erlazionatzea posiblea dela ikusteak, matematikak bere barnean duen edertasuna baloratzea eragiten du.

Arestian aipatu den moduan, Eulerren identitatea Eulerren formularen x = π {\displaystyle x=\pi } {\displaystyle x=\pi } deneko kasu partikularra da.

Har dezagun Eulerren formula:

e i x = cos ⁡ ( x ) + i ⋅ sin ⁡ ( x ) , ∀ x ∈ R , {\displaystyle e^{\,ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x),\forall x\in \mathbb {R} ,} {\displaystyle e^{\,ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x),\forall x\in \mathbb {R} ,}

non sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(x)} {\displaystyle \sin(x)} eta cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} {\displaystyle \cos(x)} sinu eta kosinu funtzio trigonometrikoak diren.

Orain, ordezka dezagun x = π {\displaystyle x=\pi } {\displaystyle x=\pi }:

e i π = cos ⁡ ( π ) + i sin ⁡ ( π ) . {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi ).} {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi ).}

Badakigu cos ⁡ ( π ) = − 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} {\displaystyle \cos(\pi )=-1} eta sin ⁡ ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} {\displaystyle \sin(\pi )=0} direla. Ondorioz,

e i π = − 1 + i ⋅ 0. {\displaystyle e^{i\pi }=-1+i\cdot 0.} {\displaystyle e^{i\pi }=-1+i\cdot 0.}

Hau da, e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1} {\displaystyle e^{i\pi }=-1}; edo, bestela adierazita, e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}.

Funtsean, Eulerren identitateak e i π {\displaystyle e^{i\pi }} {\displaystyle e^{i\pi }} espresioa − 1 {\displaystyle -1} {\displaystyle -1} zenbakiaren berdina dela baieztatzen du. Adierazpen hori e z {\displaystyle e^{z}} {\displaystyle e^{z}} adierazpenaren kasu berezi bat da, non z {\displaystyle z} {\displaystyle z} edozein zenbaki konplexu den. Oro har, ez definitzen da funtzio esponentzialaren definizioa berretzaile errealetatik berretzaile konplexuetara hedatuz.

Identitatearen interpretazio geometrikoa

Thumb
Koordenatu kartesiarrak plano konplexuan.

Edozein z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} {\displaystyle z=x+iy} zenbaki konplexu, ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} {\displaystyle (x,y)} puntu baten moldean adieraz daiteke plano konplexuan. Puntu hori koordenatu polarretan ere adieraz daiteke ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} {\displaystyle (r,\theta )} moduan. r {\displaystyle r} {\displaystyle r} z {\displaystyle z} {\displaystyle z} zenbakiaren balio absolutua da (jatorritik eta z {\displaystyle z} {\displaystyle z} punturaino dagoen distantzia), eta θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta } z {\displaystyle z} {\displaystyle z}-ren argumentua da. Sinu eta kosinu funtzioen definizioengatik, koordenatu kartesiarretan adierazitako puntua ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) {\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )} {\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )} gisa adieraz dezakegu. Ondorioz, z = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) {\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )} {\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )} izango dugu. Baliokideki, Eulerren identitatea erabiliz, z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }} {\displaystyle z=re^{i\theta }} dugu.

r e i θ {\displaystyle re^{i\theta }} {\displaystyle re^{i\theta }} funtzioan r = 1 {\displaystyle r=1} {\displaystyle r=1} eta θ = π {\displaystyle \theta =\pi } {\displaystyle \theta =\pi } hartuz, e i π {\displaystyle e^{i\pi }} {\displaystyle e^{i\pi }} lortuko dugu. Kontuan izan z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }} {\displaystyle z=re^{i\theta }} adierazpenak z {\displaystyle z} {\displaystyle z} zenbaki konplexua planoan adieraztea ahalbidetzen digula, r {\displaystyle r} {\displaystyle r}-k jatorriarekiko z {\displaystyle z} {\displaystyle z}-ren distantzia eta θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta }-k x {\displaystyle x} {\displaystyle x}-ardatzarekiko z {\displaystyle z} {\displaystyle z}-k sortzen duen angelua (radianetan) adierazten dutelarik. Hortaz, Eulerren identitatea ( e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1} {\displaystyle e^{i\pi }=-1}) erabiliz, ondoko interpretazioa egin dezakegu plano konplexuan − 1 {\displaystyle -1} {\displaystyle -1} zenbakiaren kokapenaren inguruan: jatorriarekiko − 1 {\displaystyle -1} {\displaystyle -1} zenbakiaren distantzia 1 {\displaystyle 1} {\displaystyle 1} da ( r = 1 {\displaystyle r=1} {\displaystyle r=1} delako) eta x {\displaystyle x} {\displaystyle x}-ardatzarekiko π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } radianetako angelua sortzen du ( θ = π {\displaystyle \theta =\pi } {\displaystyle \theta =\pi } baita).

Thumb
Leonhard Euler matematikaria.

Eulerren identitatea Eulerren formularen emaitza zuzena da, Leonhard Eulerrek 1748an analisi matematikoaren gaineko bere lan monumentalean argitaratu zuena, Introductio in analysin infinitorum[4] izenekoa. Leonhard Euler matematikari eta fisikari handia izan zen, Basilean (Suitza) jaioa. XVIII. mendeko matematikaririk onena eta historiako onenetarikoa da. Ideia handiak eman zituen kalkuluaren, geometriaren, logikaren, zenbakien teoriaren eta mekanikaren arloetan, besteak beste.

Euler ezaguna da halaber frogapenetan berretura-serieak eta logaritmoak arrakastaz erabiltzeagatik. Horrez, gain, zenbaki konplexuen berretura funtzioak aztertu eta funtzio trigonometrikoekin zuten harremana aurkitu zuen. Horrela, Eulerren formula eta Eulerren identitatea definitu zituen.

Eulerren identitateak zenbaki konplexuak eta e zenbakiaren arteko harremana ulertzeko ezinbesteko da. Zenbaki horien arteko harremana garrantzi handikoa da hainbat diziplina zientifikotan, eta aurrerapen esanguratsuak ekarri ditu teoria matematikoan. Funtzioen izaeratik plano konplexuaren irudikapeneraino, Eulerren identitateak gure ulermena desafiatzen du eta gure tresna matematikoak hedatzen ditu.

Aurretik azaldu denez, Eulerren identitatea eta Eulerren formularen arteko erlazioa estua da. Bi propietate hauek denboran irauten duten aplikazio praktiko asko dituzte.

Aplikazioa trigonometrian

Eulerren Identitatearen funts nagusia matematiketan, trigonometria eta analisi matematikoaren artean erlazio bat eraikitzea da. Honi esker, hainbat kasutan emaitzak modu erraz eta sinpleago batean lortu ahalko ditugu.

Esaterako, e i x = cos ⁡ ( x ) + i ⋅ sin ⁡ ( x ) {\displaystyle e^{\,ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)} {\displaystyle e^{\,ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)} Eulerren formula buruan izanda, kosinu funtzioaren kasu zehatz baten emaitza sinplifika dezakegu.

Har dezagun orain x = n π {\displaystyle x=n\pi } {\displaystyle x=n\pi }. Horrela,

e i n π = cos ⁡ ( n π ) + i ⋅ sin ⁡ ( n π ) {\displaystyle e^{\,in\pi }=\cos(n\pi )+i\cdot \sin(n\pi )} {\displaystyle e^{\,in\pi }=\cos(n\pi )+i\cdot \sin(n\pi )}

dugu, eta sin ⁡ ( k π ) = 0 , ∀ k ∈ Z {\displaystyle \sin(k\pi )=0,\forall k\in \mathbb {Z} } {\displaystyle \sin(k\pi )=0,\forall k\in \mathbb {Z} },  dela gogoratuz,

e i n π = cos ⁡ ( n π ) {\displaystyle e^{\,in\pi }=\cos(n\pi )} {\displaystyle e^{\,in\pi }=\cos(n\pi )}

berdintza izango dugu,  ∀ n ∈ Z {\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} } {\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} }.

Azter dezagun apur bat berdintzaren ezkerraldean duguna. Ikus dezakegu e i n π {\displaystyle e^{\,in\pi }} {\displaystyle e^{\,in\pi }} hurrengo moduan berridatz daitekeela:

e i n π = ( e i π ) n = ( − 1 ) n , ∀ n ∈ Z {\displaystyle e^{\,in\pi }=(e^{\,i\pi })^{n}=(-1)^{n},\forall n\in \mathbb {Z} } {\displaystyle e^{\,in\pi }=(e^{\,i\pi })^{n}=(-1)^{n},\forall n\in \mathbb {Z} }

Ondorioz, eta lehen lortutako emaitza berreskuratuz, hurrengo emaitza lortzen dugu:

cos ⁡ ( n π ) = ( − 1 ) n , ∀ n ∈ Z {\displaystyle \cos(n\pi )=(-1)^{n},\forall n\in \mathbb {Z} } {\displaystyle \cos(n\pi )=(-1)^{n},\forall n\in \mathbb {Z} }

Horrela, cos ⁡ ( n π ) {\displaystyle \cos(n\pi )} {\displaystyle \cos(n\pi )}-ren adierazpena erraztu dugu n {\displaystyle n} {\displaystyle n} edozein zenbaki osotarako.

Eulerren Identitatearen beste aplikazio batzuk[5]

Informazio gehiago Arloa, Azalpena ...
Arloa Azalpena
Zenbaki konplexuak Eulerren formulatik abiatuta, zenbaki konplexuak hainbat modutan adieraz ditzakegu: modu binomikoan, modu esponentzialean eta modu polarrean.
Taylorren serieak Taylorren serieetan, Eulerren formula funtzioak hedatzeko erabiltzen da.
Aljebra lineala Eulerren formula matrizeen diagonalizazioan erabiltzen da, azken hau aljebra linealaren arloan funtsezko teknika bat izanik.
Kalkulu diferentziala eta integrala Eulerren formula ekuazio diferentzialak ebazteko oso erabilgarria den formula da.
Gainerakoak Eulerren identitateak zenbait aplikazio ditu matematikako teoria askotan, baita matematikaren esparrutik kanpo geratzen diren kontzeptuetan ere, hala nola fisikako teoremetan.
Itxi
  • Funtzio esponentziala
  • Plano konplexua
  • Koordenatu polarrak
  1. [1]
    (Ingelesez) «Mathematics: Why the brain sees maths as beauty» BBC News 2014-02-13 (Noiz kontsultatua: 2024-10-30).
  2. [2]
    (Alemanez) «Paulos» Der Neue Pauly: 117. (Noiz kontsultatua: 2024-10-30).
  3. [3]
    (Ingelesez) Nahin, Paul. (2011-04-25). Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills. Princeton University Press, 1 or. ISBN 978-1-4008-3847-9. (Noiz kontsultatua: 2024-10-30).
  4. [4]
    (Alemanez) Conway, John H.; Guy, Richard K.. (1997). Zahlenzauber. , 254-255 or.  doi:10.1007/978-3-0348-6084-0. (Noiz kontsultatua: 2024-10-30).
  5. [5]
    (Gaztelaniaz) «¿Qué dice la fórmula de Euler? | Demostración y aplicaciones» micalculadoracientifica.com 2023-02-15 (Noiz kontsultatua: 2024-10-30).

Iturriak

  • Gaztelaniazko artikulua: Identidad de Euler
  • Ingelesezko artikulua: Euler's identity
  • Conway, John H. eta Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer ISBN 978-0-387-97993-9
  • Crease, Robert P. (2004ko maiatzaren 10ean), "The greatest equations ever", Physics World
  • Wd Datuak: Q204819
  • Commonscat Multimedia: Euler's formula / Q204819
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Edertasun matematikoa

Eulerren formulatik Eulerren identitatera

Identitatearen azalpena

Historia

Eulerren identitatearen ondorioak eta aplikazioak

Ikusi ere

Erreferentziak