Naiivne hulgateooria

Naiivseks hulgateooriaks hakati 20. sajandi alguses nimetama 19. sajandi hulgateooriat, milles hulki moodustati ilma reegliteta või piiramatult.^[1]

See artikkel räägib aksiomaatilisele hulgateooriale eelnenud hulgateooria kujust ning seda lähendavast aksiomaatikast; ZFC-le vastava mitteformaalse hulgateooria kohta vaata artiklit Naiivne hulgateooria (Halmos)

---

Ilmnenud vastuolude tõttu asendati see hiljem aksiomaatilise hulgateooriaga, milles hulkade moodustamine on aksioomidega reguleeritud.

Probleemid

Näitena piiramatust hulkade moodustamisest tuuakse sageli Georg Cantori hulgadefinitsioon: "Hulga all mõistame oma kaemuse või oma mõtlemise teatud hästi eristatud objektide m (mida nimetama M-i elementideks) mis tahes kokkuvõtet M tervikuks."^[2] Lähemal vaatlusel ei ole see aga ümberlükkamatu (vt allpool). Piiramatu hulkade moodustamisega hulgateooria leidub aga Richard Dedekind ja Gottlob Fregel ning on varajasele hulgateooriale täiesti tüüpiline.

Naiivseks nimetatakse säärast hulgateooriat sellepärast, et teatud juhtudel viib see vastuoludeni. Tuntud antinoomiad, mida nimetatakse ka loogilisteks paradoksideks, on järgmised:

• Kõigi ordinaalarvude hulk viib Burali-Forti paradoksini (1897, esimene avaldatud antinoomia).
• Kõigi kardinaalarvude hulk viib esimese Cantori antinoomiani (1897).
• Kõigi asjade hulk või kõigi hulkade hulk viib teise Cantori antinoomiani (1899).
• Kõigi niisuguste hulkade hulk, mis ei kuulu elemendina iseendasse, viib Russelli antinoomiani (1902).