Lagrange'i keskväärtusteoreem

Lagrange'i keskväärtusteoreem on üks matemaatilise analüüsi põhilisi tulemusi. Kõlab ta järgnevalt: kui funktsioon ${\displaystyle f}$ on pidev lõigus ${\displaystyle [a,b]}$ ning tal leidub lõplik tuletis vahemikus ${\displaystyle (a,b)}$, siis leidub ${\displaystyle c\in (a,b)}$ nii, et ${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$.

Tõlgendusi

Geomeetriline tõlgendus

Geomeetriliselt ütleb Lagrange'i keskväärtusteoreem, et kui funktsioon ${\displaystyle f}$ on pidev mingis lõigus ${\displaystyle [a,b]}$ ning diferentseeruv vahemikus ${\displaystyle (a,b)}$, siis leidub ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ vahel niisugune arv ${\displaystyle c}$, et funktsiooni ${\displaystyle f}$ graafiku puutuja kohal ${\displaystyle c}$ on paralleelne punkte ${\displaystyle (a,f(a))}$ ning ${\displaystyle (b,f(b))}$ läbiva lõikajaga.

Füüsikaline tõlgendus

Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldustel leidub niisugune ${\displaystyle c\in (a,b)}$, et funktsiooni ${\displaystyle f}$ väärtuse muutumise kiiruseks punktis ${\displaystyle c}$ on teatavas mõttes funktsiooni ${\displaystyle f}$ väärtuse keskmine muutumise kiirus lõigus ${\displaystyle [a,b]}$. Olgu näiteks funktsiooniks ${\displaystyle f}$ auto läbitud teepikkuse sõltuvus ajast. Eeldame, et autol on igal ajahetkel olemas lõplik hetkkiirus (s. t. funktsioon ${\displaystyle f}$ on kõikjal diferentseeruv; diferentseeruvusest järeldub ka pidevus). Lagrange'i keskväärtusteoreem ütleb nüüd, et kui auto keskmine kiirus teekonna jooksul oli 60 km/h, siis mingil ajahetkel selle teekonna jooksul oli auto hetkkiiruseks 60 km/h.

Tõestus

Olgu täidetud Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldused. Määratleme lõigus ${\displaystyle [a,b]}$ uue funktsiooni ${\displaystyle g(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}$. Paneme tähele, et siis ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ ning funktsioon ${\displaystyle g}$ on lõigus ${\displaystyle [a,b]}$ pidev ja omab vahemikus ${\displaystyle (a,b)}$ lõplikku tuletist, kusjuures iga ${\displaystyle x\in (a,b)}$ korral ${\displaystyle g'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$. Rolle'i teoreemi põhjal leidub seega ${\displaystyle c\in (a,b)}$ nii, et ${\displaystyle g'(c)=0}$ ehk ${\displaystyle f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0}$, m. o. t. t.