Isomorfism

Isomorfism (kreeka: ἴσος isos – ühesugune, ja μορφή morphe – vorm) moodustavad koos homomorfismiga üldmõiste (sh ka filosoofilise kategooria), mis iseloomustab vastavust objektide struktuuride vahel ^[1][2].

See artikkel räägib filosoofia ja matemaatika mõistest; mineraloogia mõiste kohta vaata artiklit Isomorfism (mineraloogia)

---

Mõned spetsiifilise suunitlusega filosoofilised koolkonnad võivad mitte tunnistada nende mõistete kuulumist kategooriate kilda.

Selgitus

Teadaolevalt võttis isomorfismi termini kasutusele 1857. aastal A. Cayley oma keemiliste isomeeride alastes uuringutes ^[3]. Isomorfism tähendab vastavust, kus kaks süsteemi, vaadelduna lahus neid moodustavate elementide loomusest, vastab ühe süsteemi igale elemendile ainult üks teise süsteemi element ning ühe süsteemi igale seosele vastab ainult üks seos teises – ja vastupidi. Seega saab isomorfismist rääkida vaid niisuguste objektide puhul, millel on struktuur, st on määratletud selle elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted).

Isomorfism on määratletav kui struktuuri säilitav üksühene vastavus objektide vahel. Isomorfsete objektide hulk moodustab 'isomorfismiklassi. Kõige piltlikum näide isomorfismist on graafide isomorfism.

Kaks graafi on isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri, vaatamata nende erinevale "välimusele".

Graaf G	Graaf H	Isomorfism G ja H vahel
		ƒ(a) = 1 ƒ(b) = 6 ƒ(c) = 8 ƒ(d) = 3 ƒ(g) = 5 ƒ(h) = 2 ƒ(i) = 4 ƒ(j) = 7

Isomorfism matemaatikas

Matemaatikas defineeritakse isomorfismi kui süsteemi niisugust üksühest kujutust sama tüüpi süsteemiks, mille korral säilib süsteemide struktuur. Näiteks, kujund ja selle kujundi matemaatiline avaldis ^[4]. Isomorfism on pööratav morfism, millel on pöördmorfism, kus nende korrutis on ühikmorfism. Topoloogilist isomorfismi nimetatakse homoömorfismiks.

Isomorfismiprobleem on aktuaalne algebras, kategooria- ja graafiteoorias. Algebras on isomorfism kujutus objektide vahel, selline mis näitab suhet kahe omaduse või operatsiooni vahel.  Kui kahe struktuuri vahel esineb isomorfism, siis öeldakse, et vastavad objektid on isomorfsed.  Isomorfsed objektid on struktuurselt ekvivalentsed, kuid võivad mõnest muus aspektis ka erineda. Teisisõnu, isomorfism on bijektiivne kujutus f niisugune, et f ja selle pöördfunktsioon f ⁻¹ on struktuuri säilitavad kujutused kahe algebralise struktuuri vahel, st need mõlemad on homomorfsed. Isomorfism on algebras samalaadselt defineeritud ka rühma, ringi ja teiste struktuuride kohta.

Isomorfism graafiteoorias tähendab graafide G ja H struktuuri säilitavat tippude bijektsiooni

${\displaystyle f\colon V(G)\to V(H)\,\!}$

niisugust, et kui graafi G mingid kaks tippu u ja v on seotud, siis ja ainult siis on ƒ(u) ja ƒ(v) seotud garaafis H.

Selle näide on selgituses esitatud. Oluline on siin nende substitutsioonide väljatoomine:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c&d&g&h&i&j\\1&6&8&3&5&2&4&7\end{pmatrix}}}$

Kahe graafi isomorfsust tähistatakse ${\displaystyle G\simeq H}$. Juhul kui bijektsioon on graafi kujutus iseendasse, st kui G ja H on üks ja sama graaf, siis seda bijektsiooni nimetatakse graafi G automorfismiks AutG.

Graafide isomorfism on ekvivalentsussuhe ning isomorfsed graafid kujutavad endast ühesugust struktuuri omavaid graafide isomorfismiklasse.

Isomorfismi tuvastamine kujutab endast vastava algoritmi konstrueerimist, mida nimetatakse isomorfismiprobleemiks.

Isomorfism eri valdkondades

Isomorfismi mõistet kasutatakse ka geoloogias, bioloogias, füüsikas jm. Korrektne on seda kasutada vaid seal, kus nende spetsiifiliste objektide struktuur ja bijektsioon on määratletav, see tähendab, kui nende geoloogiliste (bioloogiliste, füüsikaliste jt) süsteemide elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted) on määratletud. Tegelikult ei peeta sellest nõudest alati kinni.

Viited

1. Schmitd, Heirich, 1991. Philosophisches Wörerbuch. Stuttgart. ISBN 5250017940
2. Новая философская энциклопедия. 2001, Москва. ISBN 5244009613 (00962-1)
3. A. Cayley, 1857. On the theory of the analytical forms called trees. Phil. Mag. (4) 13 (1857), 172–176
4. Kaasik, Ülo. 2003. Matemaatikaleksikon. Tartu. ISBN 9985941772

Kirjandus

• McGraw-Hill dictionary of Mathematics, 1997. N. Y., ISBN 007524335.