Ühtlaselt kiirenev liikumine

Ühtlaselt kiireneva liikumise korral liigub keha nii suuruselt kui suunalt muutumatu kiirendusega. Selline olukord realiseerub, kui keha liigub muutumatu jõu toimel (näiteks vabalangemine raskusjõu väljas). Ühtlaselt kiireneva liikumise korral on kehas trajektoor üldjuhul parabool. Erijuhul, kui kiirendus on samasihiline kiirusega liigub keha piki sirgjoont. Sellist liikumist nimetatakse ühtlaselt kiirenevaks sirgjooneliseks liikumiseks.

Ühtlaselt kiirenevaks liikumiseks võib nimetada ka konstantse tangentsiaalkiirendusega liikumist. Sel juhul püsib konstantsena kiiruse mooduli ajalise muutumise kiirus ja, mis puutub läbitud vahemaa arvutamisse, rakenduvad samad valemid, mis alajaootuses sirgjoonelise liikumise erijuht. Valemeis esinevate suuruste tõlgendus on sel juhul aga mõnevõrra erinev, sest liikumine pole sel juhul enam sirgjooneline: x tähistab kaugust alguspunktist x₀ mõõdetuna piki liikumise trajektoori ja v tähistab kiiruse moodulit.

Liikumisvõrrandi üldlahend

Vastavalt definitsioonile kirjeldab ühtlase kiirendusega liikumist teist järku diferentsiaalvõrrandist

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}}$,

kus ${\displaystyle {\vec {a}}}$ on konstantne kiirenduse vektor, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ on kiiruse vektor, kus ${\displaystyle {\vec {r}}}$ on kohavektor ja t on aeg. Selle võrrandi integreerimine annab

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t}$,

kus ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ on keha kiirus alghetkel ${\displaystyle t=0}$. Vastavalt kiiruse definitsioonile

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t.}$.

Teistkordne integreerimine annab keha trajektoori parameetrilise kuju ehk kohavektori sõltuvuse ajast

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}t^{2},\,}$.

kus ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ on keha kohavektor alghetkel ${\displaystyle t=0}$.

Paraboolne trajektoor

Näitamaks, et trajektoor on paraboolne, on valime sobiva ristkoordinaadistiku. Selleks tuleb fikseerida koordinaatide alguspunkt ja telgede suunad. Hea koordinaatide võib probleemi lahendamist tunduvalt lihtsustada.

• Olgu x-telg valitud kiirenduse suunal. Sel juhul võtab kiirendusvektor kuju ${\displaystyle {\vec {a}}=(a,0,0)}$
• Olgu xy-tasandiks tasand, millel asuvad vektorid ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ ja ${\displaystyle {\vec {a}}}$. Sel juhul ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}=(v_{0x},v_{0y},0)}$.
• Koordinaatide alguspunkti võib valida nii, et see ühtiks kohavektoriga alghetkel. Sel juhul ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\vec {0}}}$

Valitud koordinaatides on liikumisvõrrandi lahend on komponenthaaval lahtikirjutatuna

${\displaystyle x(t)=v_{0x}t+{\frac {1}{2}}at^{2},\,}$

${\displaystyle y(t)=v_{0y}t,\,}$

${\displaystyle z(t)=0,\,}$

kusjuures kiiruse x-komponent sõltub ajast kui

${\displaystyle v_{x}(t)=v_{0x}+at}$,

Kuna z-telje suunalist liikumist ei toimu, siis võib edaspidises ajas muutumatut z-koordinaati ignoreerida. Avaldades aja y-koordinaadi kaudu, leiame parabooli võrrandi

${\displaystyle x={\frac {v_{0x}}{v_{0y}}}y+{\frac {a}{2v_{0y}^{2}}}y^{2}.\qquad (*)}$

Näide: liikumine Maa gravitatsiooniväljas

Juhul, kui x tähistab kõrgust maapinnast ja a = -g on raskuskiirendus, siis tingimus x = 0 tähendab kokkupuudet maapinnaga. Võrrandi (*) järgi on see tingimus täidetud kahe y väärtuse korral: lahend y = 0 vastab alghetkele ja

${\displaystyle y={\frac {2v_{0x}v_{0y}}{g}}\,}$

näitab, kui kaugele lendab keha, kui selle kiiruse horisontaalkomponent on ${\displaystyle v_{0y}}$ ja vertikaalkomponent ${\displaystyle v_{0x}}$. See on vaid ligikaudne hinnang keha tegelikule lendamiskaugusele, sest siin ei arvestata õhutakistusega.

Sirgjoonelise liikumise erijuht

Kui algkiirus on kiirenduse sihiline, siis on liikumine sirgjooneline ent piisab, kui vaadelda ainult kiiruse ja kohavektori kiirenduse suunalist komponenti. Ülalantud koordinaatides vastab sellele olukorrale ${\displaystyle v_{0y}=0}$ ja võib tähistada ${\displaystyle v_{0x}=v_{0}}$ ehk algkiirus on ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}=(v_{0},0,0)}$. Kiirus muutub ajas kui

${\displaystyle v(t)=v+at}$,

ja koordinaat muutub kui

${\displaystyle x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}t^{2},\,}$

Avaldades aja t kiiruse v kaudu, jõutakse valemini:

${\displaystyle x=x_{0}+{\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}.\qquad (**)}$

Näide: Liikumine Maa gravitatsiooniväljas

Antud olukord kirjeldab algkiirusega ${\displaystyle v_{0}}$ vertikaalselt üles visatud keha. Valem (**) võimaldab leida selle keha tõusukõrguse. Sel juhul ${\displaystyle x_{0}=0}$ (maapinnal), ${\displaystyle v=0}$ (hetkelise seismajäämise hetk) ja ${\displaystyle a=-g}$, kus g on raskuskiirendus. Seega

${\displaystyle x_{\text{max}}={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}}$.

Tasub tähele panna, et viimane valem kehtib ka juhul, kui ${\displaystyle v_{0y}\neq 0}$, sest ühtlane horisontaalsuunaline liikumine ei mõjuta tõusukõrgust. Viimane asjaolu on erijuht üldisemastest printsiipidest – liikumiste sõltumatuse printsiibist.

Vaata ka

• Ühtlane ringliikumine