From Wikipedia, the free encyclopedia
Matemaatikas nimetatakse meetriliseks ruumiks hulka, milles elementide vahel on antud kaugus. Kujutust, mis elementidele kauguse annab, nimetatakse meetrikaks. Kauguse mõiste järgib selle intuitiivset käsitust (lähtub kauguse mõistest füüsikalises ruumis) ning täidab järgmisi tingimusi:
Neid tingimusi nimetatakse meetrika aksioomideks.
Matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid on jada koonduvus. Arvjadade, aga ka näiteks tasandi või ruumi punktidest moodustatud jadade koonduvuse mõiste tugineb asjaolule, et arvsirgel, tasandil või ruumis on olemas punktide vaheline kaugus. Idee defineerida elementidevaheline kaugus suvaliste hulkade jaoks viib meetrilise ruumi mõisteni.
Hulka nimetatakse meetriliseks ruumiks, kui igale selle elementide paarile on vastavusse seatud reaalarv , mida nimetatakse x ja y vaheliseks kauguseks, nii, et on täidetud tingimused:
Neid tingimusi nimetatakse meetrika aksioomideks ning kujutust ρ nimetatakse meetrikaks.
Aksioomidest järeldub, et kaugus ei saa olla negatiivne:
Kauguse mittenegatiivsus lisatakse mõnikord lisatingimusena meetrilise ruumi aksiomaatikasse.
Rõhutamaks, et on hulgal defineeritud meetrika, tähistatakse vastavat meetrilist ruumi järjestatud paarina . Viimane tähistus on korrektsem, kuid üldjuhul nimetatakse meetriliseks ruumiks siiski vaid vastavat hulka eeldades, et selline tähistus on kontekstist arusaadav.
Normeeritud ruumiks nimetatakse vektorruumi V, mille igale elemendile v on vastavusse seatud reaalarv - norm ||v||. Iga normeeritud ruum on ühtlasi meetriline ruum, meetrikaga ρ(v,w) = ||v - w||, kuid vastupidine üldjuhul ei kehti. Saab näidata, et meetriline ruum on normeeritud ruum parajasti siis, kui see ühildub vektorruumi tehetega. See tähendab, et lisaks meetrika aksioomidele on suvaliste vektorite u, v, w ∈ V ja skalaari a jaoks täidetud veel tingimused
Sellise meetrika kaudu saab defineerida normi, kui
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.