Astmehulk
matemaatiline hulk, mis sisaldab antud hulga kõiki alamhulki From Wikipedia, the free encyclopedia
matemaatiline hulk, mis sisaldab antud hulga kõiki alamhulki From Wikipedia, the free encyclopedia
Astmehulk ehk potentshulk on matemaatikas hulk, mis koosneb antud hulga kõigist alamhulkadest (kaasa arvatud tühi hulk ja hulk ise).[1]
Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas postuleerib astmehulga olemasolu astmehulga aksioom, mille järgi igal hulgal on olemas astmehulk.[2]
Hulga astmehulka tähistatakse kujul 𝒫(S), P(S), , või 2S. Tähis 2S tähistab õigupoolest hulka, mille elemendid on kõik funktsioonid hulgast mõnda kahe elemendiga hulka (näiteks ); seda kasutatakse sellepärast, et hulga astmehulk on selle funktsioonide hulgaga võrdvõimas.[1]
Kui on hulk , siis kõik -i alamhulgad on:
Seega on hulga astmehulk
Kui on lõplik hulk võimsusega (hulga elementide arv on ), siis on hulga kõigi alamhulkade arv .[1]
Cantori diagonaaltõestus näitab, et hulga astmehulk (olgu hulk lõpmatu või mitte) on alati suurema võimsusega kui hulk ise, mis tähendab, et astmehulk on alati suurem kui hulk ise.
Hulga astmehulk koos ühendi, ühisosa ja täiendi tehetega on algeline näide Boole'i algebrast.
Indikaatorfunktsioon hulga alamhulga puhul on funktsioon hulgast kahe elemendiga hulka , mida tähistatakse kui . Selline funktsioon näitab seda, kas hulga element kuulub alamhulka või mitte. Kui hulga element kuulub alamhulka , siis , ning muul juhul . Iga hulga alamhulga puhul eksisteerib indikaatorfunktsioon . Kirjapilt tähistab hulgateoorias hulka, mis sisaldab kõiki funktsioone hulgast hulka . Hulk , mis koosneb seega igast funktsioonist hulgast hulka , koosneb kõigi hulga alamhulkade indikaatorfunktsioonidest. Teisisõnu on vastavuses ehk bijektiivne astmehulgaga . Kuna iga element hulgast vastab kas arvule või mistahes funktsiooni puhul hulgast , omab see funktsioonide hulk võimsust . Kuna arv võib olla hulgateoorias defineeritud kui (näiteks von Neumanni ordinaalarvude puhul), kirjutatakse ka kui . Seega on samuti tõene, et.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.