Astmehulk

Astmehulk ehk potentshulk on matemaatikas hulk, mis koosneb antud hulga ${\displaystyle S}$ kõigist alamhulkadest (kaasa arvatud tühi hulk ja hulk ${\displaystyle S}$ ise).^[1]

Astmehulga {x, y, z} elemendid kaasaarvamise järjekorras.

Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas postuleerib astmehulga olemasolu astmehulga aksioom, mille järgi igal hulgal on olemas astmehulk.^[2]

Hulga ${\displaystyle S}$ astmehulka tähistatakse kujul 𝒫(S), P(S), ${\displaystyle \mathbb {P} (S)}$, ${\displaystyle \wp (S)}$ või 2^S. Tähis 2^S tähistab õigupoolest hulka, mille elemendid on kõik funktsioonid hulgast ${\displaystyle S}$ mõnda kahe elemendiga hulka (näiteks ${\displaystyle \{0,1\}}$); seda kasutatakse sellepärast, et hulga ${\displaystyle S}$ astmehulk on selle funktsioonide hulgaga võrdvõimas.^[1]

Näide

Kui ${\displaystyle S}$ on hulk ${\displaystyle \{x,y,z\}}$, siis kõik ${\displaystyle S}$-i alamhulgad on:

• ${\displaystyle \{\}}$ (märgitud ka kui ${\displaystyle \varnothing }$ või ${\displaystyle \emptyset }$, tühi hulk või nullhulk)
• ${\displaystyle \{x\}}$
• ${\displaystyle \{y\}}$
• ${\displaystyle \{z\}}$
• ${\displaystyle \{x,y\}}$
• ${\displaystyle \{x,z\}}$
• ${\displaystyle \{y,z\}}$
• ${\displaystyle \{x,y,z\}}$

Seega on hulga ${\displaystyle S}$ astmehulk ${\displaystyle \{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\}}$

Omadused

Kui ${\displaystyle S}$ on lõplik hulk võimsusega ${\displaystyle |S|=n}$ (hulga ${\displaystyle S}$ elementide arv on ${\displaystyle n}$), siis on hulga ${\displaystyle S}$ kõigi alamhulkade arv ${\displaystyle |\mathbb {P} (S)|=2^{n}}$.^[1]

Cantori diagonaaltõestus näitab, et hulga astmehulk (olgu hulk lõpmatu või mitte) on alati suurema võimsusega kui hulk ise, mis tähendab, et astmehulk on alati suurem kui hulk ise.

Hulga ${\displaystyle S}$ astmehulk koos ühendi, ühisosa ja täiendi tehetega on algeline näide Boole'i algebrast.

Seos indikaatorfunktsiooniga

Indikaatorfunktsioon hulga ${\displaystyle S}$ alamhulga ${\displaystyle A}$ puhul on funktsioon hulgast ${\displaystyle S}$ kahe elemendiga hulka ${\displaystyle \{0,1\}}$, mida tähistatakse kui ${\displaystyle I_{A}:S\rightarrow \{0,1\}}$. Selline funktsioon näitab seda, kas hulga ${\displaystyle S}$ element kuulub alamhulka ${\displaystyle A}$ või mitte. Kui hulga ${\displaystyle S}$ element ${\displaystyle x}$ kuulub alamhulka ${\displaystyle A}$, siis ${\displaystyle I_{A}(x)=1}$, ning muul juhul ${\displaystyle 0}$. Iga hulga ${\displaystyle S}$ alamhulga ${\displaystyle A}$ puhul eksisteerib indikaatorfunktsioon ${\displaystyle I_{A}}$. Kirjapilt ${\displaystyle X^{Y}}$ tähistab hulgateoorias hulka, mis sisaldab kõiki funktsioone hulgast ${\displaystyle Y}$ hulka ${\displaystyle X}$. Hulk ${\displaystyle \{0,1\}^{S}}$, mis koosneb seega igast funktsioonist hulgast ${\displaystyle S}$ hulka ${\displaystyle \{0,1\}}$, koosneb kõigi hulga ${\displaystyle S}$ alamhulkade indikaatorfunktsioonidest. Teisisõnu on ${\displaystyle \{0,1\}^{S}}$ vastavuses ehk bijektiivne astmehulgaga ${\displaystyle \mathbb {P} (S)}$. Kuna iga element hulgast ${\displaystyle S}$ vastab kas arvule ${\displaystyle 0}$ või ${\displaystyle 1}$ mistahes funktsiooni puhul hulgast ${\displaystyle \{0,1\}^{S}}$, omab see funktsioonide hulk võimsust ${\displaystyle 2^{n}}$. Kuna arv ${\displaystyle 2}$ võib olla hulgateoorias defineeritud kui ${\displaystyle \{0,1\}}$ (näiteks von Neumanni ordinaalarvude puhul), kirjutatakse ${\displaystyle \mathbb {P} (S)}$ ka kui ${\displaystyle 2^{S}}$. Seega on samuti tõene, et${\displaystyle |2^{S}|=2^{|S|}}$.

Viited

1. Weisstein
2. Devlin 1979, lk 50

Kirjandus

• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992), Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97710-4
• Puntambekar, A. A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8.
• Weisstein, Eric W. "Power Set". mathworld.wolfram.com (inglise). Originaali arhiivikoopia seisuga 6. aprill 2023. Vaadatud 5. septembril 2020.