Alamhulk

Matemaatikas nimetatakse hulka A hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ehk alamsüsteemiks^[1], kui kõik hulga A elemendid on ühtlasi hulga B elemendid. Seda asjaolu tähistatakse A ⊂ B või A ⊆ B^[2]. Alamhulgaks olemist nimetatakse sisalduvuseks ja asjaolu A ⊂ B kohta öeldakse ka, et hulk A sisaldub hulgas B. Hulkadevahelist binaarset seost ⊂ nimetatakse seetõttu sisalduvusseoseks.

Venni diagramm: A on B alamhulk ehk B on A ülemhulk

Võib ka öelda, et B on A ülemhulk, mis on samaväärne sellega, et A on B alamhulk. Hulk B on hulga A ülemhulk parajasti siis, kui hulk A on hulga B alamhulk. Viimase asjaolu tõttu kanduvad ülemhulgale üle kõik alamhulkade omadused, kuid seda ümberpööratud kujul.

Omadused

Definitsioonist järelduvad järgmised omadused:

1. Refleksiivsus: iga hulk on iseenda alamhulk,

   ${\displaystyle A\subset A}$

2. Antisümmeetrilisus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga A alamhulk, siis need hulgad on võrdsed,

   ${\displaystyle A\subset B\ \wedge \ B\subset A\ \Rightarrow \ B=A}$

3. Transitiivsus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga C alamhulk, siis on A ka hulga C alahulk.

   ${\displaystyle A\subset B\ \wedge \ B\subset C\ \Rightarrow \ A\subset C}$

4. Tühi hulk ø on iga hulga alamhulk.

   ${\displaystyle \varnothing \subset A}$

Omadused (1)–(3) ütlevad, et ⊂ on osaline järjestus kõikide hulkade klassil, ning omadus (4) ütleb, et ø on selle järjestuse vähim element.

Tähistusest

Kui hulk A on hulga B alamhulk, mis ei ühti hulgaga B, siis nimetatakse seda hulga B pärisalamhulgaks. Viimase asjaolu rõhutamiseks kasutatakse mõnikord tähistust

${\displaystyle A\subsetneq B}$.

Kui soovitakse rõhutada omaduse (1) kehtivust, kasutatakse tähistust

${\displaystyle A\subseteq B}$,

kusjuures mõned autorid võivad sel juhul kirjapildiga ⊂ tähistada just pärisalamhulgaks olemist. Viimane tähistusviis on siiski pigem erand kui reegel.

Kasutusel on ka "ümber pööratud" tähistus

${\displaystyle B\supset A}$.

Sel juhul öeldakse, et A on B ülemhulk.

Näited

• Hulk {1, 2} on hulga {1, 2, 3} pärisalamhulk.
• Hulk {1, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} pärisalamhulk.
• Hulk {1, 2, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk, kuid mitte pärisalamhulk.
• Hulk {1, 2, 4, 5} ei ole hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk.
• Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga pärisalamhulk.
• Naturaalarvude hulk on ratsionaalarvude hulga pärisalamhulk.
• Ratsionaalarvude hulk on reaalarvude hulga pärisalamhulk.
• Täisarvude hulk ei ole naturaalarvude hulga alamhulk.
• Hulk {x : x on 2000-st suurem algarv} on hulga {x : x on 1000-st suurem paaritu arv} pärisalamhulk.
• Ruutude hulk on rombide hulga pärisalamhulk ja ristkülikute hulga pärisalamhulk.
• Rombide hulk ei ole ristkülikute hulga alamhulk.
• Mis tahes hulk on iseenda alamhulk, kuid mitte iseenda pärisalamhulk.
• Tühi hulk ${\displaystyle \varnothing }$ on mis tahes hulga alamhulk. (See on tühi tõde.) Tühi hulk on alati pärisalamhulk, välja arvatud iseenda puhul.

Karakteristlik funktsioon

Hulga B alamhulga ${\displaystyle A}$ saab defineerida tema karakteristliku funktsiooni ${\displaystyle \chi _{A}\ :B\rightarrow \{0,1\}}$ kaudu:

${\displaystyle \forall b\in B,\chi _{A}(b)=1\Leftrightarrow b\in A}$.

χ_A(b) võrdub 1, kui b on hulga A element, vastasel korral võrdub 0.

Vaata ka

• Potentshulk ehk kõigi alamhulkade hulk

Viited

1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)
2. P. Oja, Hulgateooria (2006), lk 6