Truncamiento (geometría)

En geometría, un truncamiento es una operación en cualquier dimensión que corta los vértices de un politopo, creando una nueva faceta en el lugar de cada vértice.^[1] El término se origina a partir de los nombres de Kepler para los sólidos arquimedianos.^[2]

El cuadrado truncado es un octógono regular: t{4} = {8} =

Cubo truncado t{4,3} o

Panal cúbico truncado t{4,3,4} o

Truncamiento uniforme

En general, cualquier poliedro (o politopo) también se puede truncar con un grado de libertad de corte, como se muestra en la operación de truncado de la notación de poliedros de Conway.

Un tipo especial de truncamiento, generalmente implícito, es un truncamiento uniforme, un operador de truncamiento aplicado a un poliedro regular (o politopo regular) que produce un poliedro de aristas uniformes (politopo uniforme) con iguales longitudes de arista. No hay grados de libertad, y representa una geometría fija, al igual que los poliedros regulares.

En general, todos los politopos uniformes anillados individuales tienen un truncamiento uniforme. Por ejemplo, el icosidodecaedro, representado con los símbolos de Schläfli r{5,3} o ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$, y el diagrama de Coxeter-Dynkin o tiene un truncamiento uniforme, el icosidodecaedro truncado, representado como tr{5,3} o también ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$, . En el diagrama de Coxeter-Dynkin, el efecto del truncamiento es anular todos los nodos adyacentes al nodo anillado.

Un truncamiento uniforme realizado en el teselado triangular regular {3,6} da como resultado el teselado hexagonal regular {6,3}.

Truncamiento de polígonos

Truncamientos paramétricos de un triángulo

{3}

t{3} = {6}

r{3} = {3}

Un polígono de n-lados truncados tendrá 2n caras (aristas). Un polígono regular truncado uniformemente se convertirá en otro polígono regular: t{n} es {2n}. Un truncamiento completo (o rectificación), r{3}, es otro polígono regular en su posición dual. Un polígono regular también puede representarse por su diagrama de Coxeter-Dynkin, , y su truncamiento uniforme , y su truncamiento completo, . El grafo representa el grupo de Coxeter I₂(n), , donde cada nodo representa un espejo, y la arista representa el ángulo π/n entre los espejos, y se da un círculo alrededor de uno o ambos espejos para mostrar cuáles están activos.

Los polígonos estrellados también pueden ser truncados. Un pentagrama truncado {5/2} se verá como un pentágono, pero en realidad es un decágono de doble cubierta (degenerado) ({10/2}) con dos conjuntos de vértices y aristas superpuestos. Un gran heptagrama truncado {7/3} da un tetradecagrama {14/3}.

Truncamiento de poliedros uniformes, teselados regulares y sólidos n-dimensionales

Truncamientos del cubo más allá de la rectificación

Cuando el término se aplica al truncado de sólidos platónicos o teselados regulares, generalmente implica «truncamiento uniforme», lo que significa truncar hasta que las formas originales se conviertan en polígonos regulares.

Esta secuencia muestra un ejemplo del truncamiento de un cubo, utilizando los pasos de un proceso continuo de truncamiento entre un cubo lleno y un cubo rectificado. El poliedro final es un cuboctaedro.

La imagen del medio es el cubo truncado uniforme. Está representado por un símbolo de Schläfli t{p,q,...}.

Un bitruncamiento es un truncamiento más profundo, eliminando todas las aristas originales, pero dejando una parte interior de las caras originales. El octaedro truncado es un cubo bitruncado: 2t{4,3} es un ejemplo.

Un bitruncamiento completo, llamada birrectificación, reduce las caras originales a los puntos. Para los poliedros, esto se convierte en el poliedro dual. Un octaedro es una birrectificación del cubo: {3,4} = 2r{4,3} es un ejemplo.

Otro tipo de truncamiento, el canteado (también denominado biselado), corta las aristas y los vértices de un poliedro, eliminando las aristas originales y reemplazándolas por rectángulos.

Para los politopos de dimensiones más elevadas existen operaciones de truncamientos de grado más alto. La runcinación corta caras, aristas y vértices en figuras de 4 dimensiones, mientras que en 5 dimensiones, una estericación corta celdas, caras, aristas y vértices.

Truncamiento de aristas

Truncado de los bordes de un cubo, creando un cubo biselado

El truncamiento de aristas es un biselado o achaflanado para poliedros, similar al canteado pero que conserva los vértices originales, en el que las aristas se reemplazan por hexágonos. En 4-politopos, el truncamiento de aristas reemplaza las aristas con células en forma de bipirámide elongada.

Alternancia o truncamiento parcial

Una alternancia uniforme de un cuboctaedro truncado da un cubo romo no uniforme.

La alternación o truncamiento parcial elimina solamente algunos de los vértices originales.

En truncamiento parcial, o alternancia, la mitad de los vértices y las aristas de conexión se eliminan por completo. La operación se aplica solo a politopos con caras uniformes. Las caras se reducen a la mitad y las caras cuadradas degeneran en aristas. Por ejemplo, el tetraedro es un cubo alterno, h{4,3}.

Disminución es un término más general utilizado en el contexto de los sólidos de Johnson para la eliminación de uno o más vértices, aristas o caras de un politopo, sin molestar a los otros vértices. Por ejemplo, el Icosaedro tridisminuido comienza con un icosaedro regular con 3 vértices eliminados.

Otros truncamientos parciales están basados en la simetría; por ejemplo, el dodecaedro disminuido tetraédricamente.

Truncamientos generalizados

Tipos de truncamientos mostrados en una arista aislada de un polígono más grande o poliedro con vértices rojo y azul. La arista invierte la dirección después de un truncamiento completo.

El proceso de truncamiento lineal puede generalizarse al permitir truncamientos paramétricos que son negativos, o que van más allá del punto medio de las aristas, causando poliedros de estrellas que se intersecan a sí mismos, y pueden relacionarse con algunos de los polígonos estrellados regulares y poliedros estrellados uniformes.

• Truncamiento superficial: las aristas se reducen en longitud, mientras que se forman nuevas facetas, centradas en los vértices antiguos.
• Truncamiento uniforme: son un caso especial de esto con iguales longitudes de arista. El cubo truncado, t{4,3}, con caras cuadradas que se convierten en octágonos, con nuevas caras triangulares son los vértices.
• Antitruncamiento: un truncamiento superficial inverso, truncado hacia afuera desde las aristas originales, en lugar de hacia adentro. Esto da como resultado un politopo que se parece al original, pero que tiene partes del dual colgando de sus esquinas, en lugar del cortado dual en sus propias esquinas.
• Truncamiento completo o rectificación: el límite de un truncamiento superficial, donde las aristas se reducen a puntos. El cuboctaedro, r{4,3}, es un ejemplo.
• Hipertruncamiento: una forma de truncamiento que va más allá de la rectificación, invirtiendo las aristas originales y provocando que aparezcan auto-intersecciones.
• Cuasitruncamiento: una forma de truncamiento que va incluso más allá del hipertruncamiento donde la arista invertida se vuelve más larga que la arista original. Puede generarse a partir del politopo original tratando todas las caras como retrógradas, es decir, yendo hacia atrás alrededor del vértice. Por ejemplo, el cuasitruncamiento del cuadrado da un octagrama regular (t{4,3}={8/3}), y el cuasitruncamiento del cubo proporciona el hexaedro truncado estrellado, t{4/3,3}.

Truncamientos sobre un cuadrado

Tipos de truncamiento en un cuadrado, {4}, que muestran aristas originales en rojo y nuevas aristas truncadas en cian. Un cuadrado truncado uniforme es un octágono regular, t{4}={8}. Un cuadrado truncado completo se convierte en un nuevo cuadrado, con una orientación diagonal. Los vértices se secuencian en sentido contrario a las agujas del reloj, 1-4, con pares de vértices truncados como a y b.

Truncamiento del cubo

⇨ taC	Cubo {4,3} C	⇨ tC	Truncamiento t{4,3} tC	⇨ tC	Truncamiento completo r{4,3} aC	⇩ thC
Antitruncamiento taC						Hipertruncamiento thC
⇧ taC	Cuasitruncamiento completo aqC	⇦	Cuasitruncamiento t{4/3,3} tqC	⇦ tqC	Hipertruncamiento completo ahC	⇦ thC

Véase también

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Portal:Geometría. Contenido relacionado con Geometría.
• Poliedro uniforme
• 4-politopo uniforme
• Bitruncamiento
• Rectificación (geometría)
• Alternación
• Notación de poliedros de Conway

Referencias

1. Mircea Vasile Diudea (2017). Multi-shell Polyhedral Clusters. Springer. pp. 26 de 442. ISBN 9783319641232. Consultado el 4 de septiembre de 2023.
2. Peter R. Cromwell (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. pp. 81 de 451. ISBN 9780521664059. Consultado el 4 de septiembre de 2023.

Bibliografía

• Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)
• Norman W. Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
• Norman W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Truncation (geometry)» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.
• Weisstein, Eric W. «Truncation». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Polyhedra Names, truncation

Operadores de poliedros

Semilla	Truncamiento	Rectificación	Bitruncamiento	Dual	Expansión	Omnitruncamiento	Alternaciones
t0{p,q} {p,q}	t01{p,q} t{p,q}	t1{p,q} r{p,q}	t12{p,q} 2t{p,q}	t2{p,q} 2r{p,q}	t02{p,q} rr{p,q}	t012{p,q} tr{p,q}	ht0{p,q} h{q,p}	ht12{p,q} s{q,p}	ht012{p,q} sr{p,q}

• Datos: Q3847476