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En cálculo, el teorema del emparedado (llamado también teorema de encaje, teorema de intercalación, teorema de la función comprendida, teorema de estricción, teorema del enclaustramiento, teorema del acotamiento, teorema de compresión, teorema de las funciones mayorante y minorante, teorema del ladrón y los dos policías (Rusia), criterio del sándwich, teorema del sándwich, teorema del bocadillo o teorema de comparación) es un teorema usado en la determinación del límite de una función. Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.
El teorema o criterio del sándwich es muy importante en demostraciones de cálculo y análisis matemático. Y es frecuentemente utilizado para encontrar el límite de una función a través de la comparación con otras dos funciones de límite conocido o fácilmente calculable. Fue utilizado por primera vez de forma geométrica por Arquímedes y Eudoxo en sus esfuerzos por calcular π, aunque la formulación moderna fue obra de Gauss.
Uno de los usos más frecuentes del teorema del sándwich es en la resolución de límites indeterminados. En particular, permite afirmar que el límite
Algunas indeterminaciones pueden resolverse despejando dicha expresión de la expresión general y aplicando propiedades del límite con el resto.[1]
Este resultado es muy importante, pues permite, entre otras cosas, calcular las derivadas de las funciones trigonométricas en un punto.[2]
El teorema del encaje o de intercalación es expuesto formalmente como:
|
Demostración |
Por hipótesis, para cada x distinto de a en el intervalo I, se tiene
Esto da lugar a las siguientes implicaciones.
De ambas implicaciones se deduce que, para x en (a–δ1, a+δ1) ∩ (a–δ2, a+δ2), pero designando δ como el mínimo entre δ1 y δ2, la pertenencia de x a la intersección de los referidos entornos equivale a afirmar que x está en (a–δ, a+δ). Formalmente se acaba de deducir que puesto que se asumió x distinto de a desde el principio. La implicación anterior equivale a la definición del |
Las funciones g(x) y h(x) son llamadas cotas de f(x), o también funciones minorante y mayorante de f(x), respectivamente.
Sean y dos funciones definidas en un mismo dominio, y un punto de acumulación en el referido dominio. Puede demostrarse el siguiente caso particular del teorema de intercalación.
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Demostración |
Basta ver que, como f es acotada, luego, En virtud de la continuidad de la función valor absoluto, se tiene por el teorema del sándwich |
El teorema aplica a funciones de varias variables, por ejemplo para funciones escalares de la forma
con . Para un punto de acumulación , el teorema se enuncia de la siguiente manera:
Sean , y funciones definidas en que satisfacen
entonces
El teorema puede ser extendido también a cualquier función con dominio en .[3]
Para calcular el límite
que es una indeterminación del tipo
se siguen los siguientes pasos:[1]
1. Se toma la relación en el intervalo , sin pérdida de generalidad.
2. Dividiendo los miembros por resulta:
3. Se sabe que
y que
4. Por el teorema de sándwich se concluye que
Un razonamiento similar permite calcular el límite doble
ya que
pero como y entonces por el teorema del sándwich,
Existen, entre otras, versiones del teorema del emparedado para sucesiones y para series.[4]
Sean las sucesiones y convergentes a y sea la sucesión tal que existe de modo que para . Entonces, la sucesión también converge a .
Sean y dos series convergentes y sea tal que para todo . Entonces, la serie también converge.
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