Históricamente, la noción de espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la geometría euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo, propias de la geometría de Euclides.[citarequerida] El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.
Definición de espacio afín
El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.
Dado un conjunto no vacío diremos que es un espacio afín asociado a un espacio vectorial si se tiene la siguiente aplicación:[lower-alpha 1]
Sea A un espacio afín de dimensión n sobre un cuerpok, y sea una base afín de A. Las propiedades de una base afín implican que para cada x en A existe una (n + 1)-tupla única de k elementos tal que
y
Las se denominan coordenadas baricéntricas de x sobre la base afín . Si los xi se consideran cuerpos que tienen pesos (o masas) , el punto x es, por tanto, el baricentro de los xi, y esto explica el origen del término "coordenadas baricéntricas".
Las coordenadas baricéntricas definen un isomorfismo afín entre el espacio afín A y el subespacio afín de kn + 1 definido por la ecuación .
Para espacios afines de dimensión infinita, se aplica la misma definición, utilizando solo sumas finitas. Esto significa que para cada punto, solo un número finito de coordenadas son distintas de cero.
Coordenadas afines
Un marco afín de un espacio afín consta de un punto, llamado origen, y de una base del espacio vectorial asociado. Más precisamente, para un espacio afín A con un espacio vectorial asociado , el origen o pertenece a A, y la base lineal es una base (v1, ..., vn) de (para simplificar la notación, se considera solo el caso de dimensión finita, considerando que el caso general es similar).
Para cada punto p de A, existe una secuencia única de elementos del cuerpo base tal que
o equivalentemente
Las se denominan coordenadas afines de p sobre el marco afín (o, v1, ..., vn).
Las coordenadas baricéntricas y las coordenadas afines están fuertemente relacionadas y pueden considerarse equivalentes.
De hecho, dado un marco baricéntrico
se deduce inmediatamente el marco afín
y si
son las coordenadas baricéntricas de un punto sobre el marco baricéntrico, entonces las coordenadas afines del mismo punto sobre el marco afín son
Por el contrario, si
es un marco afín, entonces
es un marco baricéntrico. Si
son las coordenadas afines de un punto sobre el marco afín, entonces sus coordenadas baricéntricas sobre el marco baricéntrico son
Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas y afines son casi equivalentes. En la mayoría de las aplicaciones, se prefieren las coordenadas afines, ya que involucran menos coordenadas que sean independientes. Sin embargo, en situaciones donde los puntos importantes del problema estudiado son afínmente independientes, las coordenadas baricéntricas pueden conducir a un cálculo más simple, como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo del triángulo
Los vértices de un triángulo no plano forman una base afín del plano. Las coordenadas baricéntricas permiten una fácil caracterización de los elementos del triángulo que no involucran ángulos ni distancias:
Los vértices son los puntos de coordenadas baricéntricas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). Las rectas que contienen las aristas son los puntos que tienen una coordenada cero. Las aristas mismas son los puntos que tienen una coordenada cero y dos coordenadas no negativas. El interior del triángulo son los puntos cuyas coordenadas son todas positivas. Las medianas son los segmentos cuyos puntos tienen dos coordenadas iguales, y el centroide es el punto de coordenadas (1/3, 1/3, 1/3).
Cambio de coordenadas
Caso de coordenadas baricéntricas
Las coordenadas baricéntricas se cambian fácilmente de una base a otra. Sean y bases afines de A. Por cada x en A hay alguna tupla para la cual
De manera similar, para cada de la primera base, ahora se tiene en la segunda base
para alguna tupla . En consecuencia, se puede reescribir la expresión dada en la primera base como una dada en la segunda haciendo que
obteniéndose las coordenadas en la segunda base como la tupla .
Caso de coordenadas afines
Las coordenadas afines también se cambian fácilmente de una base a otra. Sean , y , marcos afines de A. Para cada punto p de A, existe una secuencia única de elementos del cuerpo base tal que
y de manera similar, por cada de la primera base, ahora se tiene en la segunda base que
para la tupla y la tupla . Ahora, se puede reescribir la expresión en la primera base referida a la segunda como
obteniéndose las coordenadas en la segunda base como la tupla .
Propiedades elementales
De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:
En un espacio afín hay una correspondencia entre 3 conjuntos, y , más aún, dados dos elementos cualesquiera de 2 de los conjuntos respectivamente, se tiene que un tercer elemento del tercer conjunto queda determinado de forma única. Algebraicamente se distinguen cada uno de estos elementos: como vector, como punto extremo de y como punto origen de , también:
es consecuencia de que es una aplicación, es decir,
es consecuencia de que es biyectiva, es decir,
igual que antes,
lo cual justifica la notación.
Dicha notación resiste el uso de producto de elementos del cuerpo por vectores:
Una expresión es un vector si hay tantos puntos de origen como de extremo, es decir:
es un vectore si
Una expresión es un punto si hay un punto de extremo de más, es decir:
es un punto si
No queda definido un sentido para el resto de casos.
Con esta notación las propiedades anteriores son inmediatas.
Definición de subespacio afín
Un subespacio afín es un subconjunto de un espacio afín que es a su vez un espacio afín.
Dado un espacio afín sobre mediante y un subespacio vectorial. Se espera que sea un espacio afín sobre con por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín:
2) es heredado del espacio afín
1) es biyectiva, es decir:
de donde se deduce que y por tanto solo se ha de verificar que para cualquier , es decir, ha de ser una variedad lineal que se formaliza a continuación.[6]
Es común denominar a como espacio director, también se define como "espacio afín sobre " denotado por la terna en Máximo Anzola o "espacio afín sobre " en M. Castellet
Las parejas de elementos de , esto es, los elementos de son llamados «bipuntos»[citarequerida]; el primer elemento de una de tales parejas recibe el nombre de «origen» y el segundo el de «extremo del bipunto».