El 8 de enero de 1940 terminaron el diseño de una "Calculadora de Números Complejos", la cual era capaz de realizar cálculos con números complejos. En una demostración en la conferencia de la Sociedad Estadounidense de Matemática, el 11 de septiembre de 1940, Stibitz logró enviar comandos de manera remota a la Calculadora de Números Complejos a través de la línea telefónica mediante un teletipo. Fue la primera máquina computadora utilizada de manera remota a través de la línea de teléfono. Algunos participantes de la conferencia que presenciaron la demostración fueron John von Neumann, John Mauchly y Norbert Wiener, quien escribió acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzó diferentes logros.
Conversión entre binario y decimal
Decimal a binario
Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza la división.
A continuación se ordena desde el último cociente hasta el primer resto, simplemente se colocan en orden inverso a como aparecen en la división. Este será el número binario que buscamos.
- Ejemplo
- Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:
131 dividido entre 2 da 65 con residuo igual a 1
65 dividido entre 2 da 32 con residuo igual a 1
32 dividido entre 2 da 16 con residuo igual a 0
16 dividido entre 2 da 8 con residuo igual a 0
8 dividido entre 2 da 4 con residuo igual a 0
4 dividido entre 2 da 2 con residuo igual a 0
2 dividido entre 2 da 1 con residuo igual a 0
el último cociente es 1
-> Ordenamos los residuos, del último al primero: 10000011
En sistema binario, 131 se escribe 10000011.
- Ejemplo
- Transformar el número decimal 100 en binario.
Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta que ya no sea posible y se coloca el número 1. Después solo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo arriba.
- Ejemplo
100|0
50|0
25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo entre 2
12|0
6|0
3|1
1|1 -->
Ejemplo[10]
Para convertir al sistema binario el número decimal 77 haremos una serie de divisiones que arrojarán los siguientes resultados:
77 / 2 = 38 Residuo ==> 1
38 / 2 = 19 Residuo ==> 0
19 / 2 = 9 Residuo ==> 1
9 / 2 = 4 Residuo ==> 1
4 / 2 = 2 Residuo ==> 0
2 / 2 = 1 Residuo ==> 0
Último cociente ==> 1
Ahora tomando el último cociente y los residuos en orden inverso, el resultado es: 1001101(binario)
Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 primeras potencias de 2, ya que la siguiente, 28=256, es superior al número a convertir. Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, 151-128 = 23, para llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma dé el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente.
- Ejemplo
20= 1|1
21= 2|1
22= 4|1
23= 8|0
24= 16|1
25= 32|0
26= 64|0
27= 128|1
Para transformar un número decimal a binario mediante una notación matemática:
Esta función recursiva llamada , se llama a sí misma dividiendo y aplicandole la función piso (se le aplica la función piso para llevar la división a su valor entero más bajo), pero solo se llama a sí misma, si, y solo si , entonces la función da como salida:
Ahora, con esta función recursiva podemos convertir cualquier número decimal a binario. Si a la función recursiva le damos de entrada , nos dará un conjunto que contendría el mismo en binario:
Decimal (con decimales) a binario
Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario:
- Se transforma la parte entera a binario. (Si la parte entera es 0 en binario será 0, si la parte entera es 1 en binario será 1, si la parte entera es 5 en binario será 101 y así sucesivamente).
- Se sigue con la parte fraccionaria, multiplicando cada número por 2. Si el resultado obtenido es mayor o igual a 1 se anota como un uno (1) binario. Si es menor que 1 se anota como un 0 binario. (Por ejemplo, al multiplicar 0.6 por 2 obtenemos como resultado 1.2 lo cual indica que nuestro resultado es un uno (1) en binario, solo se toma la parte decimal del resultado).
- Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención.
- Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0.1.
- Ejemplo
0,3125 (decimal) => 0,0101 (binario).
Proceso:
0,3125 * 2 = 0,625 => 0
0,625 * 2 = 1,25 => 1
0,25 * 2 = 0,5 => 0
0,5 * 2 = 1 => 1
En orden: 0101 -> 0,0101 (binario)
- Ejemplo
0,1 (decimal) => 0,0 0011 0011 ... (binario).
Proceso:
0,1 * 2 = 0,2 ==> 0
0,2 * 2 = 0,4 ==> 0
0,4 * 2 = 0,8 ==> 0
0,8 * 2 = 1,6 ==> 1
0,6 * 2 = 1,2 ==> 1
0,2 * 2 = 0,4 ==> 0 <--se repiten las cuatro cifras, periódicamente
0,4 * 2 = 0,8 ==> 0 <-
0,8 * 2 = 1,6 ==> 1 <-
0,6 * 2 = 1,2 ==> 1 <- ...
En orden: 0 0011 0011 ... => 0,0 0011 0011 ... (binario periódico)
- Ejemplo[11]
Convertir 0.2 (decimal) a binario.
Proceso:
0.2 * 2 = 0.4 ==> 0
0.4 * 2 = 0.8 ==> 0
0.8 * 2 = 1.6 ==> 1
0.6 * 2 = 1.2 ==> 1
0.2 * 2 = 0.4 ==> 0
como se repiten los valores indefinidamente, el resultado es:
En orden: 0.001100110011...(binario)
- Ejemplo
5.5 = 5,5
5,5 (decimal) => 101,1 (binario).
Proceso:
5 => 101
0,5 * 2 = 1 => 1
En orden: 1 (un solo dígito fraccionario) -> 101,1 (binario)
- Ejemplo
6,83 (decimal) => 110,110101000111 (binario).
Proceso:
6 => 110
0,83 * 2 = 1,66 => 1
0,66 * 2 = 1,32 => 1
0,32 * 2 = 0,64 => 0
0,64 * 2 = 1,28 => 1
0,28 * 2 = 0,56 => 0
0,56 * 2 = 1,12 => 1
0,12 * 2 = 0,24 => 0
0,24 * 2 = 0,48 => 0
0,48 * 2 = 0,96 => 0
0,96 * 2 = 1,92 => 1
0,92 * 2 = 1,84 => 1
0,84 * 2 = 1,68 => 1
En orden: 110101000111 (binario)
Parte entera: 110 (binario)
Encadenando parte entera y fraccionaria: 110,110101000111 (binario)
Binario a Decimal
Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:
- Comience por el lado derecho del número en binario. Multiplique cada dígito por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0.20).
- Después de realizar cada una de las multiplicaciones, súmelas todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.
Ejemplos:
- (Los números ubicados en la parte superior del número binario indican la potencia a la que hay que elevar el número 2)
También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un 1.
- Ejemplo
El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82. Se puede representar de la siguiente manera:
entonces se suman los números 64, 16 y 2:
Para cambiar de binario con decimales a decimal se hace exactamente igual, salvo que la posición cero (en la que el dos es elevado a la cero) es la que está a la derecha de la coma y se cuenta hacia la izquierda a partir de -1:
Binario a decimal (con parte fraccionaria binaria)
1. Inicie por el lado izquierdo (la primera cifra a la derecha de la coma), cada número deberá ser multiplicado por 2 elevado a la potencia consecutiva a la inversa (comenzando por la potencia -1, 2-1).
2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.
- Ejemplos
- 0,101001 (binario) = 0,640625(decimal). Proceso:
1 * 2 elevado a -1 = 0,5
0 * 2 elevado a -2 = 0
1 * 2 elevado a -3 = 0,125
0 * 2 elevado a -4 = 0
0 * 2 elevado a -5 = 0
1 * 2 elevado a -6 = 0,015625
La suma es: 0,640625
- 0,110111 (binario) = 0,859375(decimal). Proceso:
1 * 2 elevado a -1 = 0,5
1 * 2 elevado a -2 = 0,25
0 * 2 elevado a -3 = 0
1 * 2 elevado a -4 = 0,0625
1 * 2 elevado a -5 = 0,03125
1 * 2 elevado a -6 = 0,015625
La suma es: 0,859375
Operaciones con números binarios
Adición de números binarios
La tabla de sumar para números binarios es la siguiente:
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Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 10
Note que al sumar 1 + 1 es 102, es decir, llevamos 1 a la siguiente posición de la izquierda (acarreo). Esto es equivalente en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que da 10: cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente posición.
- Ejemplo
1
10011000
+ 00010101
———————————
10101101
Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la decimal, y después transformar el resultado en un (número) binario. Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas las columnas (exactamente como en decimal).[10]
Sustracción de números binarios
El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.
Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:
- 0 - 0 = 0
- 1 - 0 = 1
- 1 - 1 = 0
- 0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1 (este valor se resta al resultado que obtenga, entre el minuendo y el sustraendo de la siguiente columna), lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2 - 1 = 1.
- Ejemplos
10001 11011001
-01010 -10101011
—————— —————————
00111 00101110
En sistema decimal sería: 17 - 10 = 7 y 217 - 171 = 46.
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varios métodos:
- Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:
100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
————————————— = ————— ————— —————
010000101011 0100 0010 1011
- Utilizando el complemento a dos (C2). La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el «complemento a dos» del sustraendo.
- Ejemplo
La siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario es:
1011011 1011011
-0101110 el C2 de 0101110 es 1010010 +1010010
———————— ————————
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.
Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el complemento a dos:
11011011 11011011
-00010111 el C2 de 00010111 es 11101001 +11101001
————————— —————————
11000100 111000100
Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal.
- Utilizando el complemento a uno. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit que se desborda.
Producto de números binarios
La tabla de multiplicar para números binarios es la siguiente:
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El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva a cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.
Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:
10110
x 1001
—————————
10110
00000
00000
10110
—————————
11000110
En sistemas electrónicos, donde suelen usarse números mayores, se utiliza el método llamado algoritmo de Booth.
11101111
x 111011
__________
11101111
11101111
00000000
11101111
11101111
11101111
______________
11011100010101
División de números binarios
La división en binario es similar a la decimal; la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario.
- Ejemplo
Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):
100010010 /1101 = 010101
-0000
———————
10001
-1101
———————
01000
- 0000
———————
10000
- 1101
———————
00111
- 0000
———————
01110
- 1101
———————
00001