Segunda conjetura de Hardy-Littlewood

En teoría de números, la segunda conjetura de Hardy-Littlewood se refiere al número de números primos en intervalos dados. Junto con su primera conjetura sobre números primos gemelos, Godfrey Harold Hardy y John Edensor Littlewood propusieron la segunda conjetura de Hardy-Littlewood en 1923.^[1]

Segunda conjetura de Hardy-Littlewood
Gráfico de ${\displaystyle \pi (x)+\pi (y)-\pi (x+y)}$ para ${\displaystyle x,y\leq 200}$
Campo	Teoría de números
Conjeturado en	1923
Problema abierto	Sí
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Enunciado

La conjetura establece que

${\displaystyle \pi (x+y)\leq \pi (x)+\pi (y)}$

para números enteros x, y ≥ 2, donde π(z) denota la función contador de números primos, dando el número de números primos hasta e incluyendo a z.

Conexión con la primera conjetura de Hardy-Littlewood

El enunciado de la segunda conjetura de Hardy-Littlewood es equivalente al enunciado de que el número de primos de x + 1 a x + y siempre es menor o igual que el número de primos de 1 a y. Se demostró que esto es inconsistente con la primera conjetura de Hardy-Littlewood sobre las k-tuplas de números primos, y se espera que la primera violación de la conjetura se produzca probablemente para valores muy grandes de x.^[2][3] Por ejemplo, un k-tupla admisible (o k-tupla de números primos) de 447 números primos se puede encontrar en un intervalo de números enteros y= 3159, mientras que π(3159) = 446. Si se cumple la primera conjetura de Hardy-Littlewood, entonces se espera la primera k-tupla para x mayor que 1.5 × 10¹⁷⁴ pero menor que 2.2 × 10¹¹⁹⁸.^[4]