Regla de Ruffini

En matemáticas, la regla de Ruffini (también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner) es una forma compacta de escribir la división larga con divisor de primer grado. Específicamente facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma ${\displaystyle (x-r)\ }$. Descrita por Paolo Ruffini en 1816, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»).^[1] El Algoritmo de Horner para la evaluación de polinomios utiliza la regla de Ruffini. La regla de Ruffini permite así mismo localizar raíces de un polinomio y en polinomios con coeficientes racionales factorizarlo en binomios de la forma ${\displaystyle (x-r)\ }$ (siendo r un número entero).

Ejemplo del algoritmo de división larga

Historia del método de Ruffini

Paolo Ruffini (1765-1822)

El método de Ruffini-Horner para la búsqueda de un valor aproximado de la raíz de un polinomio fue publicado, con algunos años de diferencia por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) y por William George Horner (1819-1845, póstumamente); al parecer Horner no tenía conocimiento de los trabajos de Ruffini.

El método de Ruffini-Horner es difícilmente explotable si el polinomio posee dos raíces muy cercanas. Ruffini no evoca esta problemática, pero Horner propone un procedimiento especial para estos casos.^[2] El método de Horner fue utilizado por los matemáticos De Morgan y J.R. Young.

En tanto que técnica de cambio de variable, históricamente se encuentran algoritmos parecidos; por ejemplo en China, para la extracción de la raíz n-ésima;^[3] en la obra de Al Samaw'al (siglo XII).^[4] El matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (siglo XII) fue uno de los primeros en aplicarlo al caso general de una ecuación de tercer grado.^[5]

Algoritmo resuelto con el método de Ruffini

La regla de Ruffini establece un método para la división del polinomio:

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

entre el binomio:

${\displaystyle Q(x)=x-r\,\!}$

para obtener el cociente:

${\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}$

y el resto:

${\displaystyle s.\!}$

• 1. Se trazan dos líneas a manera de ejes y se escriben los coeficientes de P(x), ordenados y sin omitir términos nulos. Se escribe la raíz r del lado izquierdo (invirtiendo el signo de este) y el primer coeficiente en el renglón inferior (a_n):

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

• 2. Se multiplica (a_n) por r y se escribe debajo de a_n-1:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

• 3. Se suman los dos valores obtenidos en la misma columna:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&b_{n-2}=a_{n-1}+b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

• 4. El proceso se repite:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&\dots &b_{1}\,r&b_{0}\,r\\\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&b_{n-2}=a_{n-1}+b_{n-1}\,r&\dots &b_{0}=a_{1}+b_{1}\,r&s=a_{0}+b_{0}\,r\\\end{array}}}$

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante ${\displaystyle R(x)\!}$ de grado uno menos que el grado de ${\displaystyle P(x)\!}$. El residuo es ${\displaystyle s.\!}$

Ejemplo 1

División de

${\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!}$

entre

${\displaystyle Q(x)=x+1.\,\!}$

utilizando la regla de Ruffini.

1. Se escribe ${\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!}$ y el primer coeficiente (2) en el primer renglón:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

2. Multiplicando por la raíz r=(-1):

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}}$

3. Sumando la columna:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{1}&{}&{}\\\end{array}}}$

4. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{-1}&{1}\\\hline {}&2&{1}&{-1}&{-3}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}$

Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces

${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!}$, donde

${\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1\,\!}$ y ${\displaystyle s=-3.\,\!}$

Ejemplo 2

Cuando el resto es igual a 0; permite factorizar, como en el siguiente ejemplo:

${\displaystyle F(x)=x^{3}+x^{2}-x-1}$

Tomamos

${\displaystyle G(x)=x+1}$

Usamos el método, y nos queda así:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&1&1&-1&-1\\-1&{}&{-1}&{0}&{1}\\\hline {}&1&{0}&{-1}&{0}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}$

Entonces F(x) se factoriza ${\displaystyle (x^{2}-1)(x+1)}$

Ejemplo 3

División por polinomio con coeficientes complejos:

${\displaystyle F(x)=4x^{3}+x^{2}}$

Tomamos

${\displaystyle G(x)=x+(1+i)}$

Usamos el método, y nos queda así:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&4&1&0&0\\-(1+i)&{}&-(4+4i)&-1+7i&8-6i\\\hline {}&4&-(3+4i)&(-1+7i)&-(-8+6i)\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}$

${\displaystyle F(x)=[4x^{2}-(3+4i)x+(-1+7i)]G(x)+(8-6i)}$

Encontrar raíces

Véase también: Teorema de la raíz racional

Si ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$ es un polinomio con coeficientes enteros y con a₀ y a_n distintos de cero, entonces por el teorema de la raíz racional, todas las raíces racionales reales serán de la forma p/q, donde p es un entero divisor de a₀ y q es un entero divisor de a_n. Así por ejemplo, si el polinomio es

${\displaystyle P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2=0\,\!,}$

entonces las posibles raíces racionales son todos los enteros divisores de a₀ (−2):

${\displaystyle {\text{Posibles raíces:}}\left\{+1,-1,+2,-2\right\}.}$

Esto es de utilidad para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteros, usando los divisores del término independiente.

Véase también

• Operaciones con polinomios
• División larga
• División polinomial
• Algoritmo de Horner
• Paolo Ruffini