Los polinomios ortogonales son conjuntos de polinomios que forman una base ortogonal de cierto espacio de Hilbert. Los polinomios ortogonales son importantes porque aparecen en la teoría de ecuaciones diferenciales, muy especialmente en la teoría de Sturm-Liouville, la teoría de espacios de Hilbert, la teoría de la aproximación de funciones y la mecánica cuántica.
La mayoría de las familias de polinomios ortogonales más usados son bases ortogonales de un espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable respecto al producto escalar con función de ponderación . Es decir:
Donde:
- es el producto escalar del espacio .
- es un factor de normalización que vale 1 si la familia de polinomios es además ortonormal.
- es el delta de Kronecker.
Además estos polinomios suelen ser los vectores propios de un operador diferencial lineal autoadjunto de segundo orden u operador Sturm-Liouville de la forma:
Polinomios de Legendre
Los polinomios de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial:[1]
Polinomios de Hermite
Los polinomios de Hermite son soluciones de la ecuación diferencial:[2]
Polinomios de Laguerre
- Los polinomios asociados de Laguerre son soluciones de la ecuación diferencial:[4]
Polinomios de Chebyshev
Los polinomios de Chebyshev son soluciones de la ecuación diferencial:[5]
Los se denominan polinomios de Chebyshev de primer tipo, además los polinomios de Chebyshev de segundo tipo que vienen dados por:
En mecánica cuántica son de uso común las siguientes familias de polinomios ortogonales:
Spiegel et al., 1992, pp. 156-57
Spiegel et al., 1992, pp. 158-59
Spiegel et al., 1992, pp. 160-1
Spiegel et al., 1992, pp. 162-3
Spiegel et al., 1992, pp. 164-5
Bibliografía
- Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). pp. p. 158-166. ISBN 84-7615-197-7.