Paradoja de Hilbert-Bernays

La paradoja de Hilbert-Bernays es una paradoja peculiar que pertenece a la familia de las paradojas de la referencia (como la paradoja de Berry). Recibe su nombre en honor a David Hilbert y Paul Bernays.

Historia

La paradoja aparece en el libro Grundlagen der Mathematik de Hilbert y Bernays, y es utilizada por ellos para demostrar que una teoría suficientemente fuerte y consistente no puede contener su propio funtor de referencia.^[1] Aunque ha pasado desapercibida en gran parte del siglo XX, recientemente ha sido redescubierta y apreciada por las dificultades peculiares que presenta.^[2]

Formulación

Así como la propiedad semántica de la verdad parece estar regida por el esquema naíf:

(T) La oración ´P´ es verdadera si y solo si P

(donde las comillas simples se refieren a la expresión lingüística entre comillas), la propiedad semántica de la referencia parece estar regida por el esquema naíf:

(R) Si a existe, el referente del nombre ´a´ es idéntico a a

Sin embargo, supongamos que para cada expresión e del lenguaje, el lenguaje también contiene un nombre <e> para esa expresión, y consideremos un nombre h para los números (naturales) que cumple con:

(H) <h> es idéntico a ´(el referente de <h>)+1´

Supongamos que, para algún número n:

(1) El referente de <h> es idéntico a n

Entonces, seguramente, el referente de <h> existe, al igual que (el referente de <h>)+1. Según (R), se sigue entonces que:

(2) El referente de `(el referente de <h>)+1` es idéntico a (el referente de <h>)+1

Por lo tanto, según (H) y el principio de indiscernibilidad de los idénticos, se cumple que:

(3) El referente de <h> es idéntico a (el referente de <h>)+1

Pero, con dos aplicaciones más de la indiscernibilidad de los idénticos, (1) y (3) implican:

(4) n es idéntico a n+1

Infelizmente (4) es absurdo, ya que ningún número es idéntico a su sucesor.

Soluciones

Dado que, según el lema diagonal, toda teoría suficientemente fuerte deberá aceptar algo similar a (H), la única forma de evitar la absurdidad es rechazando el principio de referencia ingenua (R) o rechazando la lógica clásica (que valida el razonamiento desde (R) y (H) hasta la absurdidad). Según el primer abordaje, lo que se dice sobre la paradoja del Mentiroso se aplica de manera similar a la paradoja de Hilbert-Bernays.^[3] En cambio, esta paradoja presenta dificultades peculiares para muchas soluciones que persiguen el segundo abordaje: por ejemplo, soluciones a la paradoja del Mentiroso que rechazan el principio del tercero excluido (que no se utiliza en la paradoja de Hilbert-Bernays) han negado que exista algo como el referente de h;^[4] soluciones a la paradoja del Mentiroso que rechazan el principio de no contradicción (que tampoco se utiliza en la paradoja de Hilbert-Bernays) han afirmado que h se refiere a más de un objeto.^[5]

Referencias

1. Hilbert, David; Bernays, Paul (1939). Grundlagen der Mathematik. Berlin: Springer. pp. 263-278.
2. Priest, Graham (2005). Towards Non-Being. Oxford: Oxford University Press. pp. 156–178.
3. Keith Simmons (2003). «Reference and Paradox». En Beall, JC, ed. Liars and Heaps. Oxford: Oxford University Press. pp. 230-252.
4. Field, Hartry (2008). Saving Truth from Paradox. Oxford: Oxford University Press. pp. 291–293.
5. Priest, Graham (2005). Towards Non-Being. Oxford: Oxford University Press. pp. 156–178.

• Datos: Q18349476