Se define como operación binaria (o ley de composición )[1] [2] operación matemática , que necesita el operador y dos operandos (argumentos) para que se calcule un valor.
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Dados tres conjuntos A , B y C , una operación binaria producto , representando la operación por el signo
∘
{\displaystyle \circ }
a de A y b de B un solo valor c de C , que podemos representar:[3]
∘
:
A
×
B
⟶
C
(
a
,
b
)
⟼
c
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ :&A\times B&\longrightarrow &C\\&(a,b)&\longmapsto &c\end{array}}}
Podemos expresar la operación:
a
∘
b
=
c
,
∘
(
a
,
b
)
=
c
,
(
a
,
b
)
→
∘
c
{\displaystyle a\circ b=c\;,\quad \circ (a,b)=c\;,\quad (a,b){\xrightarrow {\circ }}c}
Por ejemplo, el operador de suma «+» de números naturales es un operador binario, porque requiere dos argumentos:
+
:
N
×
N
⟶
N
(
a
,
b
)
⟼
c
=
a
+
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&N\times N&\longrightarrow &N\\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}}
y tenemos que:
2
+
3
=
5
,
+
(
2
,
3
)
=
5
,
(
2
,
3
)
→
+
5
{\displaystyle 2+3=5\;,\quad +(2,3)=5\;,\quad (2,3){\xrightarrow {+}}5}
El número de argumentos de una función se denomina aridad .
Según los conjuntos A , B y C podemos diferenciar dos tipos de operaciones, las internas en las que A = B = C , y las externas que son todas las demás, se denomina Ley de composición a un subtipo de operación binaria.
Si a cada par de valores (a , b ) de
A
{\displaystyle A}
c de A:
⊛
:
A
×
A
⟶
A
(
a
,
b
)
⟼
c
=
a
⊛
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledast :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledast b\end{array}}}
se dice que esta operación es interna, también se llama ley de composición interna , así por ejemplo dado el conjunto de vectores de tres dimensiones
V
3
{\displaystyle V^{3}}
+
:
V
3
×
V
3
⟶
V
3
(
a
,
b
)
⟼
c
=
a
+
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&V^{3}\times V^{3}&\longrightarrow &V^{3}\\&(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\longmapsto &\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} \end{array}}}
que la suma de dos vectores de
V
3
{\displaystyle V^{3}}
V
3
{\displaystyle V^{3}}
a
=
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
{\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} }
b
=
b
x
i
+
b
y
j
+
b
z
k
{\displaystyle \mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} }
su suma es:
c
=
a
+
b
{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} }
c
=
(
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
)
+
(
b
x
i
+
b
y
j
+
b
z
k
)
{\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )+(b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )}
c
=
(
a
x
+
b
x
)
i
+
(
a
y
+
b
y
)
j
+
(
a
z
+
b
z
)
k
{\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x})\mathbf {i} +(a_{y}+b_{y})\mathbf {j} +(a_{z}+b_{z})\mathbf {k} }
c
=
c
x
i
+
c
y
j
+
c
z
k
{\displaystyle \mathbf {c} =c_{x}\mathbf {i} +c_{y}\mathbf {j} +c_{z}\mathbf {k} }
Si la operación no es interna entonces es externa, pudiéndose presentar los siguientes casos:
Si a cada par de valores a de A y b de B , se le asigna un valor c de A ,
⋆
:
A
×
B
⟶
A
(
a
,
b
)
⟼
c
=
a
⋆
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star :&A\times B&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}}
a esta operación también se denomina ley de composición externa , un ejemplo claro, de esta operación, es el producto de un vector por un escalar:
⋅
:
V
3
×
R
⟶
V
3
(
a
,
b
)
⟼
c
=
a
⋅
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\cdot :&V^{3}\times R&\longrightarrow &V^{3}\\&(\mathbf {a} ,b)&\longmapsto &\mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot b\end{array}}}
así, dado el vector:
a
=
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
{\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} }
el resultado de multiplicarlo por un escalar b , será:
c
=
a
⋅
b
,
c
=
(
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
)
⋅
b
,
c
=
(
a
x
⋅
b
)
i
+
(
a
y
⋅
b
)
j
+
(
a
z
⋅
b
)
k
{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\cdot b)\mathbf {i} +(a_{y}\cdot b)\mathbf {j} +(a_{z}\cdot b)\mathbf {k} }
Si la operación es de la forma:
⋆
:
A
×
A
⟶
B
(
a
,
b
)
⟼
c
=
a
⋆
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star :&A\times A&\longrightarrow &B\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}}
en la que a cada par de valores a , b de A se le asigna un c de B , esta operación no se denomina ley de composición, como ejemplo podemos poner el producto escalar de dos vectores, que da como resultado un número real:
∘
:
V
3
×
V
3
⟶
R
(
a
,
b
)
⟼
c
=
a
∘
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ :&V^{3}\times V^{3}&\longrightarrow &R\\&(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\longmapsto &c=\mathbf {a} \circ \mathbf {b} \end{array}}}
así dados los vectores:
a
=
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
{\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} }
b
=
b
x
i
+
b
y
j
+
b
z
k
{\displaystyle \mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} }
su producto escalar será:
c
=
a
∘
b
,
c
=
(
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
)
∘
(
b
x
i
+
b
y
j
+
b
z
k
)
,
c
=
a
x
⋅
b
x
+
a
y
⋅
b
y
+
a
z
⋅
b
z
{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \circ \mathbf {b} \;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\circ (b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )\;,\quad \mathbf {c} =a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}+a_{z}\cdot b_{z}}
Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C , siendo A , B y C conjuntos distintos:
⋆
:
A
×
B
⟶
C
(
a
,
b
)
⟼
c
=
a
⋆
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star :&A\times B&\longrightarrow &C\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}}
es el caso más general, y tampoco se denomina ley de composición, podemos ver el ejemplo de la división de un número entero entre un número natural para dar como resultado un número racional
/
:
Z
×
N
⟶
Q
(
a
,
b
)
⟼
c
=
a
/
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}/:&Z\times N&\longrightarrow &Q\\&(a,b)&\longmapsto &c=a/b\end{array}}}
"Lecciones de álgebra moderna" (1971) DubreIl y Dubreil-Jacotin; Editorial Reverté, Barcelona; pg. 2
Sigler, L. E. (1981). «2». Álgebra (1 edición). Editoria Reverté S.A. p. 35. ISBN 9788429151299 Castañeda Hernández, Sebastián; Barrios Sarmiento, Agustín; Rafael, Martínez Solano (2004). «4». Notas de álgebra lineal (2 edición). Ediciones Uninorte. p. 198. ISBN 958-8133-89-0
Díaz Martín, José Fernando; Arsuaga Uriarte, Eider; Riaño Sierra, Jesús M. (2005). Introducción al Álgebra . Netbiblo. ISBN 84-9745-128-7 Xambó Descamps, Sebastián Xambó Descamps; Delgado, Félix; Fuertes, Concha (1009). Introducción al álgebra (1 edición). Editorial Complutense. ISBN 9788474914283 
