Número de Dottie

En matemática, el número de Dottie es una constante que es la única raíz real de la ecuación

${\displaystyle \cos x=x,}$

El número de Dottie es el único número punto fijo de la función coseno.

donde el argumento del ${\displaystyle \cos }$ está expresado en radianes. La expansión decimal del número de Dottie es ${\displaystyle 0.739085...}$.^[1]

Se puede demostrar trivialmente que la ecuación solo tiene una solución en el dominio real mediante el teorema del valor intermedio. Es el punto fijo simple de valor real de la función coseno, y es un ejemplo no trivial de un punto fijo de un atractor universal. Más aún, es un número trascendental y es consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass.^[2] El caso más general ${\displaystyle \cos z=z}$ para la variable compleja ${\displaystyle z}$ tiene infinitas raíces, sin embargo, a diferencia del número de Dottie esas soluciones no son puntos fijos de atractor. Usando la serie de Taylor de la inversa de ${\displaystyle f(x)=\cos(x)-x}$ en ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ (o equivalentemente, el teorema de inversión de Lagrange), el número de Dottie se puede expresar como una serie infinita ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\,\mathrm {impar} }a_{n}\pi ^{n}}$ donde cada ${\displaystyle a_{n}}$ es un número racional definido para los impares n como

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial m^{n-1}}}{\left({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots \end{aligned}}}$

^{[3][4][5][nb 1]}

El nombre de la constante viene originado por Samuel Kaplan (2007) y se refiere a una profesora de francés, la cual observó el número después de presionar repetidamente el botón coseno de su calculadora.^[3]

Notas

1. Kaplan no da una forma explícita para los términos de la serie pero se puede deducir trivialmente del teorema de inversión de Lagrange

Referencias

1. «OEIS A003957». oeis.org. Consultado el 26 de mayo de 2019.
2. Eric W. Weisstein. «Dottie Number».
3. Kaplan, Samuel R (February 2007). «The Dottie Number». Mathematics Magazine 80: 73. doi:10.1080/0025570X.2007.11953455. Consultado el 29 de noviembre de 2017.
4. «OEIS A302977 Numerators of the rational factor of Kaplan's series for the Dottie number.». oeis.org. Consultado el 26 de mayo de 2019.
5. «A306254 - OEIS». oeis.org. Consultado el 22 de julio de 2019.

Enlaces externos

• Miller, T. H. (Feb 1890). «On the numerical values of the roots of the equation cosx = x». Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 9: 80-83. doi:10.1017/S0013091500030868.
• Salov, Valerii (2012). «Inevitable Dottie Number. Iterals of cosine and sine». arXiv:1212.1027.
• Azarian, Mohammad K. (2008). «ON THE FIXED POINTS OF A FUNCTION AND THE FIXED POINTS OF ITS COMPOSITE FUNCTIONS». International Journal of Pure and Applied Mathematics.